Problem C. 1839. (January 2025)

C. 1839. Two parallel lines and two points, \(\displaystyle A\) and \(\displaystyle B\) on one of them are given. Construct the midpoint of line segment \(\displaystyle AB\) with only a straightedge.

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle AB\)-vel párhuzamos egyenesen vegyük fel a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) pontokat úgy, hogy \(\displaystyle AB>CD\). Ekkor \(\displaystyle ABCD\) trapéz, amelynek átlói az \(\displaystyle E\) pontban, \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) szárainak egyenesei az \(\displaystyle F\) pontban metszik egymást.

Azt állítjuk, hogy az \(\displaystyle FE\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt. Tekintsük a következő ábrát, amelyen az \(\displaystyle EF\) egyenes az \(\displaystyle AB\) szakaszt a \(\displaystyle H\) pontban, az \(\displaystyle AB\) egyenessel az \(\displaystyle E\) ponton keresztül rajzolt párhuzamos az \(\displaystyle AD\), illetve \(\displaystyle BC\) egyenest az \(\displaystyle I\), illetve \(\displaystyle J\) pontokban metszi.

Először igazolni fogjuk, hogy \(\displaystyle IE=JE\), azaz \(\displaystyle x=y\).

A párhuzamos szelők tétele alapján

illetve

Az \(\displaystyle ADB\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle IE\) és a \(\displaystyle BCA\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle JE\) szakaszokra felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{AB}=\frac{DI}{DA},\qquad \frac{y}{AB}=\frac{CJ}{CB}},\)

ahonnan (1)-ből azonnal következik, hogy \(\displaystyle x=y\) valóban teljesül.

Az \(\displaystyle AFH\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle IE=x\) és \(\displaystyle AH\), valamint a \(\displaystyle BFH\sphericalangle\) szárait metsző \(\displaystyle JE=y\) és \(\displaystyle BH\) szakaszokra alkalmazhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét:

\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{AH}=\frac{FI}{FA}, \qquad \frac{y}{BH}=\frac{FJ}{FB}},\)

ahonnan \(\displaystyle x=y\) és (2) szerint \(\displaystyle AH=BH\) adódik.

Bizonyítottuk tehát, hogy a csak egyélű vonalzó használatával szerkesztett \(\displaystyle FB\) egyenes felezi az \(\displaystyle AB\) szakaszt.

Megjegyzések. 1) A fentihez hasonlóan bizonyítható, hogy az \(\displaystyle FE\) egyenes a \(\displaystyle CD\) szakaszt is felezi.

2) A feladat azonos a geometriai feladatok gyűjteménye I. 1246. sorszámú feladatával, az \(\displaystyle x=y\) állítás pedig az 1244. feladattal, utóbbi állítás általánosítását az 1248. feladat tartalmazza.

3) A megoldásban látott módszerrel az is igazolható, hogy egyélű vonalzó felhasználásával az \(\displaystyle AB\) egyenesen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszának egész számú többszörösei is megszerkeszthetők.

4) Ha adott az \(\displaystyle AB\) szakasz és annak felezőpontja, akkor csupán egyélű vonalzó segítségével az \(\displaystyle AB\) egyenesre nem illeszkedő tetszőleges ponton keresztül párhuzamost szerkeszthetünk \(\displaystyle AB\)-vel. Ez a feladat megfordítása.

Statistics:

164 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Békési Máté, Bencze Mátyás, Blaskovics Bálint, Bodó Rókus Dániel, Budai Máté, Farkas András, Farkas Noémi , Fercsák Flórián, Fülöp Magdaléna, Hajnal Ákos Huba, Halász Tamás, Hetyei Dániel, Hicsó Máté Kristóf, Iván Máté Domonkos, Kérdő Vilmos, Kókai Ákos, Kudomrák Lili Anna , Lovas Márk, Malinkó Dioméd, Maróti Olga, Medgyesi Júlia, Molnár-Sáska Tamás, Nagypál Katóca, Németh Ábel, Pánovics Máté, Papp Emese Petra, Pink István, Poczai Dorottya, Sipos Ferenc László, Szedmák Szabrina, Terjék Temes, Tóth Luca, Válek Péter.
4 points:	Abonyi Donát Tibor, Danka Emma, Kulcsár Anna Zita, Márfai Lili, Miszori Márton, Molnár Lili, Pap Kende, Sipos Dániel Sándor, Szabó Máté, Szabó Medárd, Szalóki Árpád, Szighardt Anna, Szmodics Emese Anna, Vaskó Bazsó Bendegúz.
3 points:	17 students.
2 points:	33 students.
1 point:	6 students.
0 point:	32 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	16 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2025