Problem C. 1843. (February 2025)

C. 1843. Boglárka has drawn a rectangle with sides of lengths \(\displaystyle 75\) cm and \(\displaystyle 105\) cm. She divided the rectangle into \(\displaystyle 75 \cdot 105= 7875\) squares of area \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}^{2}\), and she also drew one of the diagonals of the rectangle. How many small squares does the diagonal cross?

Proposed by: Katalin Abigél Kozma, Győr

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha egy téglalap \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) oldalhosszai relatív prímek, akkor egyik csúcsából elindulva az átló mentén, csak úgy juthatunk át egy másik kis négyzetbe, ha átlépjük valamelyik (a téglalap oldalával párhuzamos) rácsvonalat. Ilyen esetben az átló semelyik rácspontra nem illeszkedik, csak az átló végpontjaira. Ekkor az \(\displaystyle a\) oldalra merőleges \(\displaystyle a-1\) darab rácsvonalat metszi az átló, és a \(\displaystyle b\) oldalra merőleges \(\displaystyle b-1\) darab rácsvonalat szintén, ezért az első kis négyzettel együtt összesen \(\displaystyle 1+a-1+b-1=a+b-1\) négyzeten megy át. A feladat feltételei szerint \(\displaystyle a=75\) és \(\displaystyle b=105\), legnagyobb közös osztójuk \(\displaystyle (a;b)=15\), és \(\displaystyle 75=15 \cdot 5, ~~105=15 \cdot 7.\) Ekkor az előzőekben leírt jelenség \(\displaystyle 15\)-ször ismétlődik meg, \(\displaystyle 15\) darab \(\displaystyle 5\)-ször \(\displaystyle 7\)-es téglalap átlója mentén, vagyis a Boglárka által rajzolt téglalap átlója összesen

\(\displaystyle 15(5+7-1)=75+105-15=165\)

darab kis négyzeten megy át.

Statistics:

197 students sent a solution.
5 points:	122 students.
4 points:	35 students.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	19 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2025