Problem C. 1848. (March 2025)

C. 1848. The sequence \(\displaystyle a_n\) is defined in the following way: \(\displaystyle a_1=1\), \(\displaystyle a_2=2\), and for all positive integers \(\displaystyle n\), \(\displaystyle a_{n+2}=a_n^2+a_{n+1}^2\). Find the last digit of the \(\displaystyle 2025^{\text{th}}\) member of the sequence.

Australian competition problem

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A természetes számok tízes számrendszerbeli alakjának utolsó szám­jegye egyenlő a \(\displaystyle 10\)-zel való osztási maradékkal, ami a paritástól és az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradéktól függ. Nézzük először a paritást. Egy egész szám négyzete ugyanolyan paritású, mint a szám, így az \(\displaystyle a_3\) páratlan, hiszen különböző paritású számok összege. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle a_4\) is páratlan, \(\displaystyle a_5\) viszont páros, hiszen két páratlan szám összegeként kapjuk meg. Láthatjuk, hogy a páratlan-páros-páratlan hármas ciklikusan ismétlődik, azaz a sorozat minden \(\displaystyle 3\)-mal osztható sorszámú tagja páratlan, így a \(\displaystyle 2025.\) tag is. Most vizsgáljuk meg az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradékokat. Mivel \(\displaystyle a_3=5,\) így osztható \(\displaystyle 5\)-tel, \(\displaystyle a_4=29,\) amelynek \(\displaystyle 4\) az \(\displaystyle 5\)-tel való osztási maradéka. Ebből következik, hogy \(\displaystyle a_5\) \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul \(\displaystyle 5\)-tel osztva, \(\displaystyle a_6\) pedig \(\displaystyle 2\)-t, így a maradékok négyesével ismétlődnek, vagyis a \(\displaystyle 2025.\) tag \(\displaystyle 5k+1\) alakú (ahol \(\displaystyle k\) egész szám). A fentiek alapján a sorozat \(\displaystyle 2025.\) tagja páratlan és \(\displaystyle 5\)-tel osztva \(\displaystyle 1\)-et ad maradékul, ezért az utolsó számjegye \(\displaystyle 1\).

Megjegyzés. Mivel a paritás periódusa \(\displaystyle 3\), az ötös maradékoké pedig \(\displaystyle 4\), az utolsó számjegy \(\displaystyle 3 \cdot 4=12\)-esével ismétlődik.

Statistics:

170 students sent a solution.
5 points:	101 students.
4 points:	16 students.
3 points:	5 students.
2 points:	4 students.
1 point:	8 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	4 solutionss.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	17 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2025