Problem C. 1853. (April 2025)

C. 1853. Some researchers are observing a team of fifty bumblebees buzzing on a flowery sandbank. They excitedly note that each bumblebee collected pollen from exactly four types of flowers before flying off. In fact, they also recorded that each bumblebee chose a different set of four flowers, but all \(\displaystyle 50\) bumblebees visited a common baby's-breath. Prove that the bumblebees collected pollen from at least 9 different types of flowers.

Proposed by: Zoltán Paulovics, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje \(\displaystyle n\) azt a számot, ahány növényfaj virágáról gyűjtöttek (elsősorban virágport) a poszméhek. Mivel a buglyos fátyolvirágot mindegyikük meglátogatta, így a maradék \(\displaystyle n-1\) faj közül választhattak maguknak további hármat (ugyanis pontosan négy faj virágáról gyűjtöttek). Tudjuk, hogy ezen hármasok mind különbözőek, így adódik, hogy a poszméhek száma legfeljebb annyi lehet, ahányféleképpen az \(\displaystyle n-1\) fajból kiválaszthatunk különböző hármat. Tehát \(\displaystyle \binom{n-1}{3} \geq 50\), amelyből \(\displaystyle n \geq 9\) adódik.

Statistics:

187 students sent a solution.
5 points:	135 students.
4 points:	19 students.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	22 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2025