Problem C. 1858. (May 2025)

C. 1858. Tomi numbered 30 cards from 1 to 30 and distributed them into 10 envelopes. In each envelope there are at least 2 and at most 4 cards. On each envelop he wrote the sum of the numbers on the cards contained in the envelop, and arranged them in decreasing order. Find the smallest and the largest possible number, respectively, on the third envelop of the arrangement.

Proposed by: Mátyás Czett, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az első 3 borítékon mind legalább akkora szám áll, mint a harmadikon. Ezeknek az összege legfeljebb a 12 legnagyobb számkártya összege, ami \(\displaystyle 30+29+\dots+19=3\cdot98\). Tehát a 3. borítékon lévő szám legfeljebb 98 lehet.

A \(\displaystyle 98\) lehetséges is, ha a borítékokban lévő számkártyák például

\(\displaystyle (30, 29, 20, 19), (28, 27, 22, 21), (26, 25, 24, 23), (18, 17, 16), (15, 14, 13), (12, 11, 10), (9, 8, 7), (6, 5), (4, 3), (2, 1).\)

Az utolsó 8 borítékon mind legfeljebb akkora szám áll, mint a harmadikon. Ezeknek az összege legalább annyi, mint a 22 legkisebb számkártya értékének összege, hiszen legfeljebb 8 kártya kerülhet a maradék két borítékba. Ez \(\displaystyle 22+21+\dots+1=253\), tehát a 3. számkártyán álló szám legalább \(\displaystyle \left\lceil\frac{253}8\right\rceil=32\).

A \(\displaystyle 32\) lehetséges is, ha a borítékokban lévő számkártyák például

\(\displaystyle (30, 29, 28, 27), (26, 25, 24, 23), (22, 9, 1), (21, 8, 3), (20, 7, 5), (19, 11, 2), (18, 10, 4), (13, 12, 6), (17, 14), (16, 15).\)

Statistics:

95 students sent a solution.
5 points:	57 students.
4 points:	7 students.
3 points:	11 students.
2 points:	5 students.
1 point:	2 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	5 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025