Problem C. 1861. (May 2025)
C. 1861. The base of the pyramid \(\displaystyle ABCDE\) is the square \(\displaystyle ABCD\) of side length 12. We know that the orthogonal projection of the vertex \(\displaystyle E\) on the plane of the base is on the circumcircle of the square \(\displaystyle ABCD\), and also \(\displaystyle BE=CE\) and \(\displaystyle AE=18\). Find the volume of the pyramid.
Proposed by: Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A \(\displaystyle BE=CE\) feltétel miatt az \(\displaystyle E\) csúcs merőleges vetülete az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle k\) körülírt körén a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontok által meghatározott két ív \(\displaystyle F_1\), illetve \(\displaystyle F_2\) felezőpontjába eshet. Ennek megfelelően a gúla \(\displaystyle E\) csúcsa kétféle lehetséges helyzetet foglalhat el, legyenek ezek \(\displaystyle E_1\), illetve \(\displaystyle E_2\). A kör középpontját \(\displaystyle K\)-val jelöljük, a kör sugara a négyzet átlójának fele, vagyis \(\displaystyle R=6\sqrt{2}\). Vizsgáljuk a következő ábrát, amelyen az \(\displaystyle F_1\), \(\displaystyle F_2\) pontokból merőlegeseket állítottunk az \(\displaystyle AB\) egyenesre, a talppontok \(\displaystyle T_1\), illetve \(\displaystyle T_2\).
Nyilvánvaló, hogy
\(\displaystyle KF_1=KF_2=R=6\sqrt{2},\)
\(\displaystyle F_1T_1=F_2T_2=6, \)
illetve
\(\displaystyle AT_1=BT_2=R-6=6\sqrt{2}-6=6\big(\sqrt{2}-1\big),\)
\(\displaystyle AT_2=12+BT_2=12+6\sqrt{2}-6=6\big(\sqrt{2}+1\big).\)
Az \(\displaystyle AF_1=x\) és \(\displaystyle AF_2=y\) szakaszok a gúla \(\displaystyle AE_1\), illetve \(\displaystyle AE_2\) élének a \(\displaystyle k\) kör síkjára eső merőleges vetületei a kétféle lehetséges esetben. Legyen a gúla magassága az egyes esetekben \(\displaystyle m_1\), illetve \(\displaystyle m_2\). Mivel a gúla magassága merőleges \(\displaystyle k\) síkjára, ezért merőleges annak minden egyenesére. Ebből következik, hogy az \(\displaystyle E_1F_1A\) és \(\displaystyle E_2F_2A\) az \(\displaystyle F_1\), illetve \(\displaystyle F_2\) pontban derékszögű háromszögek, felírhatjuk tehát, hogy
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle m_1^2+x^2=AE_1^2;\qquad m_2^2+y^2=AE_2^2.\) |
Az \(\displaystyle AF_1T_1\) derékszögű háromszögből
\(\displaystyle x^2=6^2+\Big[6\big(\sqrt{2}-1\big)\Big]^2,\)
az \(\displaystyle F_2AT_2\) derékszögű háromszögből pedig
\(\displaystyle y^2=6^2+\Big[6\big(\sqrt{2}+1\big)\Big]^2.\)
Mivel a gúla \(\displaystyle AE\) élének hossza adott, ezért \(\displaystyle AE_1=AE_2=18\), ezt és \(\displaystyle x^2, y^2\) előzőleg kapott értékét beírjuk (1) megfelelő összefüggésébe, innen adódik, hogy
\(\displaystyle m_1^2=180+72\sqrt{2};\qquad m_2^2=180-72\sqrt{2},\)
vagyis
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle m_1=6\sqrt{5+2\sqrt{2}};\qquad m_2=6\sqrt{5-2\sqrt{2}}.\) |
A gúla térfogata tehát kétféle érték lehet, ezek (2) alapján
\(\displaystyle \displaystyle{V_1=\frac{12^2\cdot m_1}{3}=288\sqrt{5+2\sqrt{2}}\approx 805,805,\qquad V_2=\frac{12^2\cdot m_2}{3}=288\sqrt{5-2\sqrt{2}}\approx 424,404}\)
térfogategység.
Statistics:
24 students sent a solution. 5 points: Budai Máté, Hetyei Dániel, Iván Máté Domonkos, Kókai Ákos, Pánovics Máté, Rózsa Zsombor. 4 points: Albert Luca Liliána. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 4 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2025