Problem C. 1864. (September 2025)

C. 1864. The angles of a hexagon are equal, and the lengths of four consecutive sides are 5, 3, 6 and 7 (in this order). Find the lengths of the next two sides.

Indian Competition Problem

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszögben \(\displaystyle AB=5\), \(\displaystyle BC=3\), \(\displaystyle CD=6\), \(\displaystyle DE=7\) és \(\displaystyle EF=x\), \(\displaystyle FA=y\). A hatszög pontosan négy háromszögre bontható, így belső szögeinek összege \(\displaystyle 4\cdot 180^{\circ}=720^{\circ}\).

Mivel a feltétel szerint a belső szögek egyenlők, ezért például az \(\displaystyle A\) csúcsnál levő belső szöget \(\displaystyle \alpha\)-val jelölve \(\displaystyle 6\cdot \alpha=720^{\circ}\), azaz a belső szögek mindegyike \(\displaystyle \alpha=120^{\circ}\). Ez egyúttal azt is jelenti, hogy \(\displaystyle ABCDEF\) konvex hatszög.

Mivel \(\displaystyle ABC\sphericalangle=BCD\sphericalangle=120^{\circ}\), ezért a hatszög \(\displaystyle B\), illetve \(\displaystyle C\) csúcsánál levő külső szögek egyaránt \(\displaystyle 60^{\circ}\)-osak, így az \(\displaystyle AB\) és \(\displaystyle CD\) egyenesek a \(\displaystyle 3\) egység oldalú \(\displaystyle BGC\) szabályos háromszöget zárják közre.

Hasonlóan látható be, hogy a \(\displaystyle CD\) és \(\displaystyle EF\) a \(\displaystyle 7\) egység oldalú \(\displaystyle DHE\), az \(\displaystyle EF\) és \(\displaystyle AB\) egyenesek pedig az \(\displaystyle y\) egység oldalú \(\displaystyle FKA\) szabályos háromszöget zárják közre. Tekintsük az alábbi ábrát.

A fentiekből az is következik, hogy \(\displaystyle GHK\) is szabályos háromszög, ezért oldalai egyenlő hosszúak, eszerint

\(\displaystyle y+5+3=3+6+7,\)

illetve

\(\displaystyle 7+x+y=3+6+7.\)

Az első egyenletből \(\displaystyle y=8\), ennek alapján a második egyenletből \(\displaystyle x=1\) adódik.

Az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszög két oldalának hossza tehát \(\displaystyle x=1, y=8\). Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzések. 1) Könnyen belátható, hogy az \(\displaystyle ABCDEF\) hatszögben \(\displaystyle AB\parallel {DE}; BC\parallel {EF}; CD\parallel {FA}\) és emiatt a hatszög paralelogrammává is kiegészíthető. Ezzel az eljárással is az \(\displaystyle x=1, y=8\) eredményhez jutunk.

2) A szemben levő oldalak párhuzamosságának következményeként bizonyítható például az is, hogy a \(\displaystyle ACE\) és \(\displaystyle BDF\) háromszögek területe egyenlő.

Statistics:

230 students sent a solution.
5 points:	56 students.
4 points:	75 students.
3 points:	27 students.
2 points:	19 students.
1 point:	22 students.
0 point:	29 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025