Problem C. 1867. (September 2025)

C. 1867. Find the coefficient of term \(\displaystyle a^nb^nc^n\) after the expansion and collection of like terms of algebraic expression \(\displaystyle (a+b)^n(b+c)^n(c+a)^n\), where \(\displaystyle n\) is a positive integer. (The answer can be given as a sum of at most \(\displaystyle n\) terms.)

Proposed by: Zoltán Paulovics, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója az a szám, ahányféleképpen kiválaszthatunk az

\(\displaystyle \underbrace{(a+b)\ldots(a+b)}_n\underbrace{(b+c)\ldots(b+c)}_n\underbrace{(c+a)\ldots(c+a)}_n\)

szorzat szorzótényezői közül \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle a\)-t, \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle b\)-t, és \(\displaystyle n\) darabot, amelyekből \(\displaystyle c\)-t választunk majd.

Ha az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban választunk \(\displaystyle a\)-t, akkor az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle n-k\) darabban kell. Ekkor az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle n-k\) darabban \(\displaystyle b\)-t kell választanunk, az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban pedig \(\displaystyle c\)-t, és így a középső \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\) darabban \(\displaystyle b\)-t és \(\displaystyle n-k\) darabban \(\displaystyle c\)-t.

Ezt éppen \(\displaystyle \binom{n}{k}^3\)-féleképpen tehetjük meg, hiszen az első \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle a\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen, a középső \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle b\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen, és végül az utolsó \(\displaystyle n\) tényező közül \(\displaystyle k\)-t (amelyekből majd \(\displaystyle c\)-t választunk) \(\displaystyle \binom{n}{k}\)-féleképpen választhatunk ki.

Mivel \(\displaystyle k \in \{0, 1, \ldots ,n \}\), így tehát az \(\displaystyle a^nb^nc^n\) együtthatója \(\displaystyle \sum_{k=0} ^n \binom{n}{k}^3\) lesz.

Statistics:

49 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Abonyi Donát Tibor, Albert Luca Liliána, Bán Kincső Panni, Budai Máté, Fülöp Magdaléna, Guirguis Mariam Mourad Fawzy Youssef, Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kámán-Gausz Péter, Kókai Ákos, Krüpl Boglárka, Kun Petra, Lajkó Lia, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya, Schneider Péter, Szabó Máté, Szathmáry Zalán, Szedmák Szabrina, Szekeres Anina, Válek Péter, Viczián Adél, Zádori Gellért.
4 points:	Gazdag Lóránd, Károly Kamilla , Miskolczi Máté Pál, Ördög Dominik, Szabados Zoltán , Telegdy Márk, Virág Hanna Barbara.
3 points:	6 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2025