Problem C. 1869. (October 2025)
C. 1869. Square \(\displaystyle ABCD\) has a side length of 20 meters. A ray of light is emitted from the vertex \(\displaystyle A\) and reflected back from side \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\) and \(\displaystyle DA\) (in this order) and finally arrives at the midpoint \(\displaystyle N\) of the side \(\displaystyle AB\). Find the distance traveled by the ray of light.
Iranian competition problem
(5 pont)
Deadline expired on November 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyenek a fénysugárnak a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DA\) oldalakkal közös pontjai rendre \(\displaystyle K\), \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és legyen \(\displaystyle BK=x\), \(\displaystyle AM=y\), \(\displaystyle CL=z\). A fényvisszaverődés fizikai törvénye szerint a beesési merőlegessel a beeső fénysugár ugyanakkora szöget zár be, mint a visszavert fénysugár (ez a három egyenes egy síkban is van). Legyen ez a szög a \(\displaystyle K, L, M\) beesési pontoknál rendre \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma\).
Tekintsük a következő ábrát, amelyen az egyes pontokban a beesési merőlegeseket szaggatott vonallal jelöltük.
A \(\displaystyle K\), illetve \(\displaystyle L\) pontokban megrajzolt beesési merőlegesek nyilván egymásra is merőlegesek, hiszen \(\displaystyle BC\perp CD\), valamint az \(\displaystyle L\), illetve \(\displaystyle M\) pontokban megrajzolt beesési merőlegesek is merőlegesek egymásra, mert \(\displaystyle CD\perp DA\).
Ebből azonnal következik, hogy a \(\displaystyle K\) és \(\displaystyle M\) pontokban megrajzolt beesési merőlegesek párhuzamosak egymással, tehát \(\displaystyle \alpha=\gamma\), így az \(\displaystyle M\) pontban megrajzolt beesési merőleges és \(\displaystyle AB\) párhuzamossága miatt \(\displaystyle MNA\sphericalangle=\gamma=\alpha\). Az is könnyen látható, hogy \(\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}\).
A megfelelő szögek egyenlősége miatt az \(\displaystyle ABK\), \(\displaystyle KCL\), \(\displaystyle LDM\) és \(\displaystyle MAN\) derékszögű háromszögek hasonlók, ezért a megfelelő befogók aránya egyenlő:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x}{20}=\frac{20-x}{z}=\frac{20-y}{20-z}=\frac{y}{10}}.\) |
A felírt törtkifejezések közül az első és utolsó egyenlőségéből
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle x=2y\) |
adódik, az első és a második egyenlőségéből pedig (2) felhasználásával \(\displaystyle \displaystyle{\frac{2y}{20}=\frac{20-2y}{z}}\), ahonnan a műveletek elvégzésével és rendezéssel
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle yz=200-20y.\) |
Az utolsó két tört egyenlősége miatt \(\displaystyle 200-10y=20y-yz\), innen
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle yz=30y-200.\) |
A (3) és (4) egyenletek alapján pedig egyszerű számítással kapjuk, hogy \(\displaystyle y=8\), (2) szerint \(\displaystyle x=16\), végül (3) vagy (4) figyelembe vételével \(\displaystyle z=5\).
Most már kiszámolhatjuk a fénysugár által megtett \(\displaystyle AK+KL+LM+MN\) út hosszát. Az \(\displaystyle ABK\), \(\displaystyle KCL\), \(\displaystyle LDM\), \(\displaystyle MAN\) háromszögekben alkalmazva a Pitagorasz-tételt:
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle AK=\sqrt{656}=4\sqrt{41};\quad KL=\sqrt{41};\quad LM=\sqrt{369}=3\sqrt{41};\quad MN=\sqrt{164}=2\sqrt{41}.\) |
Ezért (5) alapján a fénysugár a négyzetben az \(\displaystyle A\) ponttól az \(\displaystyle N\) pontig \(\displaystyle AK+KL+LM+MN=10\sqrt{41}\) hosszúságegységnyi utat tesz meg.
Statistics:
229 students sent a solution. 5 points: 87 students. 4 points: 44 students. 3 points: 24 students. 2 points: 21 students. 1 point: 17 students. 0 point: 32 students. Not shown because of missing birth date or parental permission: 2 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025