Problem C. 1870. (October 2025)

C. 1870. A table tennis competition is held between 10 contestants. Each contestant plays exactly one match against every other contestant. At one of the breaks the organizers observe that if two contestants played the same number of matches so far, then there is no contestant that played with both of them. Supposing that more than 5 matches had already been played until the break, is there a contestant who played exactly two matches so far?

Based on a problem from Polygon, Szeged

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy Gergő játszotta (esetleg holtversenyben) eddig a szünetig a legtöbb meccset, mégpedig \(\displaystyle d\) darabot. Mivel már legalább 6 meccset játszottak, így \(\displaystyle d \geq 2\). Ekkor minden Gergővel már játszott versenyző eddig különböző számú meccset játszott. Ezen \(\displaystyle d\) számú játékos mindegyike legalább egyet, legfeljebb \(\displaystyle d\)-t játszott, azaz ők \(\displaystyle 1, 2, \ldots, d\) számú meccset játszottak.

Tehát a válasz igen: van olyan versenyző, aki pontosan két mérkőzést játszott.

Statistics:

152 students sent a solution.
5 points:	70 students.
4 points:	10 students.
3 points:	12 students.
2 points:	12 students.
1 point:	32 students.
0 point:	11 students.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025