Problem C. 1872. (October 2025)

C. 1872. Peti has written the integers from one to fifty on the blackboard. In each step, he chooses two numbers (\(\displaystyle a\) and \(\displaystyle b\)) on the board, erases them and replaces them with the number defined by the formula

\(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30.\)

He repeats this until a single number remains on the board. What can this number be?

Proposed by Mátyás Czett, Zalaegerszeg

(5 pont)

Deadline expired on November 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A folyamat végén a hatos szám marad a táblán.

Ennek indoklásaképp megmutatjuk, hogy ez a szám nem tud eltűnni: ha letörlünk két számot, melyek közül az egyik a 6, akkor helyettük ismét a 6-ot fogjuk felírni.

Első eset: \(\displaystyle a=6\), ekkor \(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=36b-216-42b+252-30=6\).

Második eset: \(\displaystyle b=6\), ekkor \(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=6a^2-6a^2-42a+42a+36-30=6\).

Mivel kezdetben 50 szám volt a táblán, és minden lépésben eggyel csökken a táblán lévő számok darabszáma (hiszen kettőt törlünk le, és egyet írunk csak fel), 49 lépés után tényleg pontosan egy szám lesz a táblán, és ennek a fentiek miatt a 6-nak kell lennie.

Hogyan lehet erre rájönni?

\(\displaystyle a^2b-6a^2-7ab+42a+6b-30=(a^2b-6a^2)-(7ab-42a)+6b-30=\)

\(\displaystyle =a^2(b-6)-7a(b-6)+6(b-6)+6=(a^2-7a+6)(b-6)+6=(a-1)(a-6)(b-6)+6\text{,}\)

ahol \(\displaystyle a=1\), \(\displaystyle a=6\) vagy \(\displaystyle b=6\) helyettesítéssel a szorzat értéke \(\displaystyle 0\), így a kifejezés értéke \(\displaystyle 6\) lesz.

Statistics:

50 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Bán Kincső Panni, Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Fülöp Magdaléna, Gazdag Lóránd, Halmosi Dávid, Hetyei Dániel, Ivák László, Kámán-Gausz Péter, Károly Kamilla , Király Zsuzsanna , Kókai Ákos, Kun Petra, Lupkovics Lázár, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Móricz Zsombor, Németh Ábel, Ördög Dominik, Pap Lola, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya, Schneider Péter, Serfőző Dávid, Szathmáry Zalán, Szedmák Szabrina, Szekeres Anina, Válek Péter, Varga 137 Levente, Veress Bence, Viczián Adél, Yan Zhebeier.
4 points:	Abonyi Donát Tibor, Hirmann Dorottya, Kovács Dorka Sára, Mátó-Brezán Luca, Novák Zétény, Pivárcsik Márk, Szabados Zoltán .
3 points:	2 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, October 2025