Problem C. 1873. (November 2025)

C. 1873. Solve the following system of equations on the set of triples of real numbers: \(\displaystyle x^2+13x+144=5y+32z\), \(\displaystyle y^2+13y+144=5z+32x\), \(\displaystyle z^2+13z+144=5x+32y\).

Proposed by Mátyás Czett, Zalaegerszeg

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2025.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A három egyenletet összeadva, majd nullára rendezve a következőt kapjuk:

\(\displaystyle x^2-24x+y^2-24y+z^2-24z+3\cdot144=0.\)

Vegyük észre, hogy a bal oldali kifejezés három teljes négyzet összege:

\(\displaystyle (x-12)^2+(y-12)^2+(z-12)^2=0.\)

Ez csak akkor lehet \(\displaystyle 0\), ha külön-külön \(\displaystyle x-12=0\), \(\displaystyle y-12=0\) és \(\displaystyle z-12=0\).

Már csak azt kell ellenőrizni, hogy az így adódó egyetlen lehetséges megoldás, az \(\displaystyle x=y=z=12\) tényleg megoldás-e. Ehhez helyettesítsük be a három egyenletrendszerbe! Mindháromszor ugyanazt kapjuk: \(\displaystyle 12^2+13\cdot12+144=5\cdot12+32\cdot12,\) azaz \(\displaystyle 444=444\), vagyis megoldást kaptunk.

Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása az \(\displaystyle x=y=z=12\).

Statistics:

277 students sent a solution.
5 points:	237 students.
4 points:	27 students.
3 points:	6 students.
2 points:	1 student.
1 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025