Problem C. 1874. (November 2025)
C. 1874. Two points, \(\displaystyle G\) and \(\displaystyle H\) are given in the plane. Construct acute isosceles triangles using a straightedge and compass such that \(\displaystyle H\) is orthocenter and \(\displaystyle G\) is the centroid of the triangle. (The elementary steps of construction such as bisecting an angle, reflecting across a line etc. do not need to be detailed.)
(5 pont)
Deadline expired on December 10, 2025.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Nyilvánvaló, hogy mivel a feladatban két adott pontról van szó, ezért a \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle G\) pontok nem lehetnek azonosak, tehát a szerkesztendő háromszög nem lehet egyenlő oldalú. Legyenek a szerkesztendő egyenlő szárú háromszög csúcsai \(\displaystyle A, B, C\), a háromszög szárai pedig \(\displaystyle AB=AC\). Az \(\displaystyle ABC\) háromszög pontosan akkor hegyesszögű, ha a megadott \(\displaystyle H\) magasság-és \(\displaystyle G\) súlyponton kívül a háromszög körülírt körének \(\displaystyle O\) középpontja is a háromszög belső pontja.
Az \(\displaystyle AB=AC\) egyenlőség miatt a \(\displaystyle H\), \(\displaystyle G\), \(\displaystyle O\) pontok mindegyike rajta van a \(\displaystyle BC\) szakasz felezőmerőlegesén. Jelöljük a \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle G\) pontok távolságát \(\displaystyle 2d\)-vel. Ismert, hogy a \(\displaystyle G\) súlypont a \(\displaystyle HO\) szakasznak az \(\displaystyle O\)-hoz közelebb eső harmadolópontja, azaz
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{OG}{GH}=\frac{1}{2}},\)
ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle OG=d.\) |
Legyen a \(\displaystyle HG\) egyenes és \(\displaystyle BC\) közös pontja \(\displaystyle D\) és \(\displaystyle OD=x\).
A \(\displaystyle D\) pontot fogjuk megszerkeszteni, amelyhez felvesszük a körülírt kör \(\displaystyle OA=R\) sugarát. Tekintsük a következő ábrát:
1. ábra
Az \(\displaystyle AD\) súlyvonal \(\displaystyle A\)-tól távolabbi harmadolópontja \(\displaystyle G\), emiatt
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{GD}{AG}=\frac{1}{2}},\)
vagyis az ábra jelöléseivel
\(\displaystyle \displaystyle{\frac{x+d}{R-d}=\frac{1}{2}},\)
innen egyszerű átalakítással kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{R-3d}{2}}.\) |
Nyilvánvaló, hogy a feltételeknek csak olyan felvett \(\displaystyle R\) sugár felel meg, amelyre \(\displaystyle x>0\), vagyis amelyre \(\displaystyle R>3d\). Ilyen \(\displaystyle R\) tetszőleges \(\displaystyle d>0\) mellett nyilván létezik.
Az (1) és (2) összefüggések alapján a feltételeknek eleget tevő háromszög megszerkeszthető. Először megszerkesztjük (1) szerint a körülírt kör \(\displaystyle O\) középpontját, majd (2)-nek megfelelően a \(\displaystyle D\) pontot, valamint megrajzoljuk az \(\displaystyle O\) középpontú és \(\displaystyle R\) sugarú kört, ahol \(\displaystyle R\) eleget tesz az \(\displaystyle R>3d\) feltételnek. Ezután a \(\displaystyle D\) pontban merőlegest állítunk a \(\displaystyle DH\) egyenesre, ennek a merőlegesnek és a körülírt körnek a metszéspontjai a háromszög \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) csúcsai.
A \(\displaystyle H\) és \(\displaystyle G\) pontokat más módon is felvehetjük (2. ábra).
2. ábra
A súlypont azonban most is ugyanúgy harmadolja az \(\displaystyle AD\) súlyvonalat és a \(\displaystyle HO\) szakaszt, ezért (1) és (2) most is érvényben marad, tehát a szerkesztés módja sem változik.
A szerkesztés eredménye ugyanakkor nem egyértelmű, hiszen az \(\displaystyle R>3d\) egyenlőtlenségnek végtelen sok \(\displaystyle R\) tesz eleget, de minden ennek megfelelően szerkesztett háromszög egyenlő szárú és hegyesszögű, magasságpontja \(\displaystyle H\), súlypontja \(\displaystyle G\).
Ezzel a megoldást befejeztük.
Statistics:
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2025