Problem C. 1878. (December 2025)
C. 1878. How many four-digit positive integers in base ten are there in which at most one of the digits is divisible by 3, the sum of the digits is \(\displaystyle 15\), and the sum of the mod \(\displaystyle 3\) remainders of the digits is \(\displaystyle 6\)?
Proposed by Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on January 12, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feltételek alapján vagy pontosan egy \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy van, vagy nincs \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy.
1. eset Ha az egyik számjegy osztható \(\displaystyle 3\)-mal, akkor az összes többi \(\displaystyle 3\)-mal osztva \(\displaystyle 2\) maradékot ad, hiszen csak így lehet a \(\displaystyle 3\)-as maradékok összege \(\displaystyle 6\). Tehát az egyik számjegy a \(\displaystyle \{0;3;6;9\}\) halmaz eleme, míg a másik három számjegy a \(\displaystyle \{2;5;8\}\) halmaz eleme.
\(\displaystyle a)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 0\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 15\), ez \(\displaystyle 2+5+8\), illetve \(\displaystyle 5+5+5\)-ként adódhat. Mivel a \(\displaystyle 0\) nem lehet az első számjegy, így \(\displaystyle 3\cdot3\cdot2\cdot1=18\), illetve a \(\displaystyle 0\) helye szerint \(\displaystyle 3\) ilyen négyjegyű szám van, összesen \(\displaystyle 18+3=21\) darab szám.
\(\displaystyle b)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 3\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 12\), ez \(\displaystyle 2+5+5\), illetve \(\displaystyle 2+2+8\)-ként adódhat. Mindkét esetben kétszer szerepel ugyanaz a számjegy, így esetenként \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\), összesen \(\displaystyle 2\cdot 12=24\) darab ilyen szám van.
\(\displaystyle c)\) Ha az egyik számjegy a \(\displaystyle 6\), akkor a másik három összege \(\displaystyle 9\), ez \(\displaystyle 2+2+5\)-ből jöhet ki, így (ismétléses permutációval) \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab megfelelő számot találunk.
\(\displaystyle d)\) Ha pedig az egyik számjegy a \(\displaystyle 9\), akkor a másik három kizárólag \(\displaystyle 2\)-es lehet, így a \(\displaystyle 9\)-es helyét változtatva \(\displaystyle 4\) darab megfelelő számot találunk.
Összegezve: \(\displaystyle 21+24+12+4=61\) számot találtunk az \(\displaystyle 1.\) esetben.
2. eset Ha nincs \(\displaystyle 3\)-mal osztható számjegy, akkor a \(\displaystyle 3\)-as maradékok összege csak az \(\displaystyle 1+1+2+2=6\) alapján felel meg, tehát két számjegy a \(\displaystyle \{1;4;7\}\) halmaz eleme, míg a másik két számjegy a \(\displaystyle \{2;5;8\}\) halmaz eleme. A számjegyek összegét figyelembe véve az alábbi esetek adódnak:
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle 8+5+1+1=15\), a két \(\displaystyle 1\)-es miatt ilyen négyjegyű számból \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab különböző létezik.
\(\displaystyle b)\) \(\displaystyle 8+2+4+1=15\), ilyen négyjegyű szám \(\displaystyle 4!=24\) darab van.
\(\displaystyle c)\) \(\displaystyle 5+5+4+1=15\), a két \(\displaystyle 5\)-ös miatt \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab megfelelő szám létezik.
\(\displaystyle d)\) \(\displaystyle 5+2+4+4=15\), a két \(\displaystyle 4\)-es miatt ilyen négyjegyű számból \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab különböző létezik.
\(\displaystyle e)\) \(\displaystyle 5+2+7+1=15\), ez újabb \(\displaystyle 4!=24\) megfelelő számot ad.
\(\displaystyle f)\) \(\displaystyle 2+2+7+4=15\), a két \(\displaystyle 2\)-es miatt még \(\displaystyle \dfrac{4!}{2!}=12\) darab számot találtunk.
A \(\displaystyle 2.\) esetben tehát \(\displaystyle 12+24+12+12+24+12=96\) darab számot találtunk.
Mindösszesen \(\displaystyle 61+96=157\) olyan négyjegyű szám van, amely a feladat összes feltételét kielégíti.
Statistics:
221 students sent a solution. 5 points: 114 students. 4 points: 39 students. 3 points: 23 students. 2 points: 16 students. 1 point: 11 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 13 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025