Problem C. 1879. (December 2025)

C. 1879. A convex \(\displaystyle n\)-gon is given on the table, the sides of which have length 2. We place a disk with unit radius on each vertex of the polygon such that the adjacent disks are tangent to each other. We roll another circular token with unit radius around this arrangement such that it returns to its initial position. Determine, as a function of \(\displaystyle n\), the total angle through which this disk rotates during the rolling process.

German competition problem

(5 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Első lépésként nézzük meg egy jól ismert feladat megoldását: egy egységsugarú korong körül görgessünk körbe egy másik egységsugarú korongot, és vizsgáljuk meg, hogy hányszor fordul körbe, amíg visszaér a helyére!

Ha a fenti ábrán a felső korongot az óramutató járásával megegyező irányban átgörgetjük az alsó korong alá, akkor a fenti fekete pont a lenti fekete ponttal fog egybeesni, hiszen a két korong éppen egy félkört (piros) fog gördülni egymáson. Azt látjuk, hogy így fél kör alatt fog pontosan egyszer körbefordulni a mozgó korong, tehát a teljes út alatt pontosan két fordulatot tesz meg.

Ennek a feladatnak a megoldásából annyit használunk fel a továbbiakban, hogy a mozgatott korong pont kétszer akkora szöget fordul el a saját középpontja körül, mint a fix korong körül.

Térjünk vissza a vizsgált feladatra! Most egy konvex \(\displaystyle n\)-szög csúcsaiban lévő fix korongok körül forog egy mozgó korong. Nézzük meg, hogy mennyit fordul körbe két olyan helyzet között, amikor pontosan két fix korongot érint (lásd második ábra)!

Mint az az ábrán is látszik, ha a konvex \(\displaystyle n\)-szög egy csúcsánál lévő belső szög \(\displaystyle \alpha\), akkor az abban a csúcsban lévő fix korong körül a mozgó korongnak \(\displaystyle \beta=360^\circ-2\cdot60^\circ-\alpha=240^\circ-\alpha\) szöget kell fordulnia. Az előzőekben tisztázott okokból a korong ezalatt kétszerennyit fordul körbe, tehát \(\displaystyle 480^\circ-2\alpha\) szöget. Ezeket az értékeket kell összeadnunk mind az \(\displaystyle n\) szögre (hiszen mindegyik körül pont egyszer kell elfordulnia a mozgó korongnak): \(\displaystyle n \cdot 480^\circ-2(n-2)\cdot 180^\circ=n\cdot120^\circ +720^\circ,\) hiszen a sokszög belső szögeinek összege \(\displaystyle (n-2)\cdot 180^\circ.\)

Tehát a végiggörgetés során összesen \(\displaystyle n\cdot120^\circ +720^\circ\) szöggel fordul el a korong.

Statistics:

113 students sent a solution.
5 points:	Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Dorogi-Deák Levente, Farkas Réka, Fülöp Magdaléna, Hetyei Dániel, Holló Barnabás, Kallós Klára, Kámán-Gausz Péter, Kármán Gergely, Kovács Dániel, Kovács Domonkos, Kudomrák Lili Anna , Lukács Kristóf Pál, Magyar Levente Árpád, Majer Veronika, Masa Izabella, Mészáros Kristóf, Mikesz Milán, Miskolczi Máté Pál, Molnár Levente, Nádas Zorka Lilla, Nelissen Sámuel Zalán, Nguyen Dang Thuy Chi, Rákóczi Bartos, Szighardt Anna, Tasnádi Bendegúz.
4 points:	38 students.
3 points:	19 students.
2 points:	13 students.
1 point:	8 students.
0 point:	5 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025