Problem C. 1880. (December 2025)

C. 1880. Solve equation \(\displaystyle (x+1)!=x^3-x\) on the set of natural numbers.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on January 12, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle x=0\), akkor a bal oldal \(\displaystyle 1!=1\), míg a jobb oldal \(\displaystyle 0^3-0=0\), tehát az \(\displaystyle x=0\) nem megoldás.

Ha \(\displaystyle x=1\), akkor a bal oldal \(\displaystyle 2!=2\), míg a jobb oldal \(\displaystyle 1^3-1=0\), tehát az \(\displaystyle x=1\) nem megoldás.

Ha \(\displaystyle x\geq2\), akkor a bal oldalon a faktoriális definícióját, a jobb oldalon pedig kiemelést és egy nevezetes azonosságot használva adódik:

\(\displaystyle (x+1)x(x-1) \cdot (x-2)! = x(x-1)(x+1).\)

Mivel \(\displaystyle (x-1)x(x+1) \neq 0\), így az ezzel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy \(\displaystyle (x-2)! = 1\).

A jobb oldal konstans, a bal oldal értéke \(\displaystyle x=2\) és \(\displaystyle x=3\) esetén \(\displaystyle 1\) (hiszen \(\displaystyle 0!=1!=1\)), különben \(\displaystyle x\geq 3\) esetén nagyobb, mint 1, és szigorúan monoton nő, így csak ez a két megoldása van az egyenletnek.

Statistics:

257 students sent a solution.
5 points:	114 students.
4 points:	83 students.
3 points:	42 students.
2 points:	8 students.
1 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.
Not shown because of missing birth date or parental permission:	2 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025