Problem C. 1882. (December 2025)
C. 1882. Let \(\displaystyle ABCD\) be a convex quadrilateral, and let \(\displaystyle I\) be the incenter of triangle \(\displaystyle ABD\). Prove that if \(\displaystyle CB=CD=CI\), then \(\displaystyle ABCD\) is a cyclic quadrilateral.
Proposed by Viktor Vígh, Sándorfalva
(5 pont)
Deadline expired on January 12, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldűs. Az \(\displaystyle ABD\) háromszög beírt körének \(\displaystyle I\) középpontja a háromszög belső pontja. Mivel \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög, ezért a \(\displaystyle C\) pont csak a \(\displaystyle DAB\) szögtartomány belső pontja lehet. Tekintsük a következő ábrát.
Az \(\displaystyle ABD\) háromszögben \(\displaystyle I\) a belső szögfelezők metszéspontja, ezért az \(\displaystyle IAB\sphericalangle=\alpha; IBD\sphericalangle=\beta; IDA\sphericalangle=\delta\) jelöléssel kapjuk, hogy a háromszög belső szögeinek összege
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 2\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ}.\) |
A \(\displaystyle CB=CD=CI\) feltételből következik, hogy a \(\displaystyle BDI\) háromszög \(\displaystyle k\) körülírt körének középpontja éppen \(\displaystyle C\). Ezért a \(\displaystyle k\) körben a \(\displaystyle B\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle DI\) ívhez \(\displaystyle \beta\), a \(\displaystyle D\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle BI\) ívhez pedig \(\displaystyle \delta\) nagyságú kerületi szög tartozik.
A kerületi és középponti szögek összefüggése alapján ebből azt kapjuk, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle ICD\sphericalangle=2\beta,\quad BCI\sphericalangle=2\delta.\) |
A (2) összefüggésből adódik, hogy az \(\displaystyle ABCD\) konvex négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) csúcsánál levő belső szögek összege \(\displaystyle DAB\sphericalangle+BCD\sphericalangle=2\alpha+2\beta+2\gamma\), ez pedig (1) alapján azt jelenti, hogy az \(\displaystyle ABCD\) négyszög két szemközti szögének összege \(\displaystyle 180^{\circ}\).
Ebből a húrnégyszögek tételének megfordítása alapján következik, hogy \(\displaystyle ABCD\) valóban húrnégyszög.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
Megjegyzés. A feladat állításának igazolásához felhasználhattuk volna azt a jól ismert tételt (lásd például: Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 967. feladat), amely szerint a \(\displaystyle BDI\) kör középpontja az \(\displaystyle ABD\) kör \(\displaystyle BD\) ívének felezőpontja, ez jelen esetben éppen a \(\displaystyle C\) pont.
Statistics:
44 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Abonyi Donát Tibor, Albert Luca Liliána, Bao Nguyen Gia, Berei Gergő, Budai Máté, Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kámán-Gausz Péter, Markovics Dóra, Masa Izabella, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Mátó-Brezán Luca, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya, Szathmáry Zalán, Szekeres Anina, Terjék Temes, Török Lilla Petra, Ujpál András, Válek Péter, Viczián Adél. 4 points: Farkas Noémi , Márfai Lili, Móricz Zsombor, Szabados Zoltán . 3 points: 2 students. 2 points: 5 students. 1 point: 3 students. 0 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2025