Problem C. 1883. (January 2026)
C. 1883. Find all natural numbers \(\displaystyle n\) satisfying \(\displaystyle n^3+25n\ge10n^2+16\).
Proposed by Mátyás Czett, Zalaegerszeg
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. Megoldás Az egyenlőtlenséget ekvivalens átalakítással az \(\displaystyle n^3-10n^2\geq 16-25n\) alakba írhatjuk, innen pedig
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle n^2\cdot\big(n-10\big)\geq 16-25n .\) |
Eszerint, ha \(\displaystyle n\geq 10\), akkor (1) bal oldala nemnegatív, jobb oldala negatív, tehát az egyenlőtlenség minden \(\displaystyle n\geq 10\) természetes számra teljesül.
Meg kell tehát vizsgálni az \(\displaystyle \Big[0;10\Big[\) intervallumba tartozó természetes számokat. Behelyettesítéssel láthatjuk, hogy \(\displaystyle n=0\) nem felel meg (1)-nek, ezért nem megoldása az eredeti egyenlőtlenségnek sem.
Az \(\displaystyle n=1\) és \(\displaystyle n=2\) azonban megoldás, az előbbi mellett (1) mindkét oldalán \(\displaystyle -9\) áll, az utóbbi esetben a bal oldal értéke \(\displaystyle -32\), a jobb oldal értéke pedig \(\displaystyle -34\).
Hasonlóan egyszerűen kapjuk, hogy az \(\displaystyle n=3, 4, 5, 6\) számokra nem teljesül az (1) egyenlőtlenség, ezért az \(\displaystyle n=0\) mellett ezek sem megoldásai a feladatnak. Ugyancsak behelyettesítéssel adódik, hogy \(\displaystyle n=7, 8, 9\) megfelel (1)-nek.
Az eredeti egyenlőtlenség tehát az \(\displaystyle n=0, 3, 4, 5, 6\) számok kivételével minden természetes számra igaz.
2. Megoldás Ekvivalens lépés, ha az egyenlőtlenség mindkét oldalából \(\displaystyle 10n^2\)-et kivonunk, ezzel
\(\displaystyle n^3-10n^2+25n\geq 16,\)
a kapott egyenlőtlenség bal oldalán \(\displaystyle n\) kiemelésével, majd teljes négyzetté alakításal adódik, hogy
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle n\cdot \big(n-5\big)^2\geq 16.\) |
A (2) összefüggés bal oldalán olyan kifejezést kaptunk, amelynek minimuma \(\displaystyle 0\), hiszen \(\displaystyle n\) természetes szám, ezt a minimumot \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=5\) esetén éri el. Ez azt is jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenségnek \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=5\) nem megoldása.
Ugyanakkor minden olyan \(\displaystyle n\) természetes szám megoldás lesz, amelyre
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle |n-5|\geq 4.\) |
Ha \(\displaystyle n\geq5\), akkor (3)-ból az következik, hogy \(\displaystyle n-5\geq 4\), azaz \(\displaystyle n\geq 9\). A feladatnak tehát minden olyan \(\displaystyle n\) természetes szám megoldása, amelyre \(\displaystyle n\geq 9\).
Ha pedig \(\displaystyle n<5\), akkor (3)-ból adódik, hogy \(\displaystyle -n+5\geq 4\), vagyis \(\displaystyle n\leq 1\). Az ennek megfelelő természetes számok \(\displaystyle n=0\) és \(\displaystyle n=1\).
Az előzőekben már megállapítottuk, hogy \(\displaystyle n=0\) nem megoldás. Az \(\displaystyle n=1\) azonban kielégíti a (2) és (3) egyenlőtlenségeket, ezért megoldása a feladatnak, \(\displaystyle n=1\) mellett (2) mindkét oldalán \(\displaystyle 16\) áll.
Most már csak az \(\displaystyle [2;8]\) intervallumba eső természetes számokat kell megvizsgálnunk. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy \(\displaystyle n=2\), \(\displaystyle n=7\) és \(\displaystyle n=8\) megoldások, míg \(\displaystyle n=4, 5, 6\) nem megoldásai a feladatnak.
Összegezve: az eredeti egyenlőtlenség az \(\displaystyle n=0, 3, 4, 5, 6\) számok kivételével minden \(\displaystyle n\) természetes számra igaz.
Statistics:
202 students sent a solution. 5 points: 112 students. 4 points: 44 students. 3 points: 17 students. 2 points: 10 students. 1 point: 10 students. 0 point: 6 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026