Problem C. 1884. (January 2026)
C. 1884. 30 students in a class did a test in mathematics. The teacher marked the tests, and sent a table of the marks to the students such that the marks appeared in a column: 15 of them were four, and 15 of them were five. Prove that it is always possible to find 14 consecutive rows such that the sum of the marks contained in them equals 63.
Problem of the competition ``Felvidéki Magyar Matematikaverseny''
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel először, hogy az első 14 jegy összege kevesebb, mint 63. Ez pontosan akkor lehetséges, ha az első 14 jegy között kevesebb, mint 7 darab ötös van. Tehát az utolsó 16 jegy között biztosan van legalább 9 darab ötös, és így az utolsó 14 jegy között biztosan van legalább 7 darab ötös, ezért az utolsó 14 jegy összege legalább 63. Ha pont 63, teljesül a feladat állítása, ellenkező esetben az utolsó 14 jegy összege nagyobb, mint 63.
Vegyük észre, hogy ha egy sorral feljebbi vagy lejjebbi 14 jegyet adunk össze, az összeg vagy eggyel változik, vagy nem változik, hiszen 13 vizsgált jegy ugyanaz marad, és egy darab négyes vagy ötös változhat csak meg az összegben. Tehát az első 14 jegytől az utolsó 14 jegyig tekintve az egymást követő 14 sorokat az összeg mindig csak egyesével változhat. Ám ha egy 63-nál kisebb számtól egyesével lépdelve eljutunk egy 63-nál nagyobb számig, akkor biztos, hogy közben szerepelt maga a 63 szám is, tehát biztosan van 14 olyan egymást követő sor, melyekben a jegyek összege 63.
Amennyiben az első 14 jegy összege nagyobb, mint 63, abban 7-nél több ötösnek kell szerepelnie, tehát az utolsó 16 sorban, és így az utolsó 14 sorban is legfeljebb 7 ötös szerepel, így az utolsó 14 sor összege legfeljebb 63. Az előző gondolatmenet szerint tehát ebben az esetben is lesz 14 olyan egymást követő sor, melyben az összeg pont 63.
Már csak azt az esetet kell megvizsgálni, amikor az első 14 sor összege pont 63, ekkor nyilván teljesül a feladat állítása.
Statistics:
142 students sent a solution. 5 points: 104 students. 4 points: 10 students. 3 points: 13 students. 2 points: 8 students. 1 point: 3 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026