Problem C. 1885. (January 2026)

C. 1885. We inscribe reagular hexagon \(\displaystyle ABCDEF\) in equilateral triangle \(\displaystyle PQR\) such that points \(\displaystyle B\), \(\displaystyle D\) and \(\displaystyle F\) are midpoints of sides \(\displaystyle PQ\), \(\displaystyle QR\) and \(\displaystyle RP\). Find the area of triangle \(\displaystyle QPR\) if the area of pentagon \(\displaystyle ABQRF\) equals one unit.

Dutch competition problem

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle ABCDEF\) szabályos hatszög középpontját \(\displaystyle K\). Megmutatjuk, hogy a \(\displaystyle K\) pont a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög súlypontja, az \(\displaystyle A\) pont pedig a \(\displaystyle PK\) szakasz felezőpontja. Tekintsük az 1. ábrát.

A \(\displaystyle KAB\), \(\displaystyle KBC\), \(\displaystyle KCD\), \(\displaystyle KDE\), \(\displaystyle KEF\) és \(\displaystyle KFA\) egybevágó szabályos háromszögek, ezért az \(\displaystyle ABKF\) négyszög rombusz, amelynek átlói merőlegesek egymásra. Ugyanakkor a \(\displaystyle BF\) szakasz a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög középvonala, amely párhuzamos a \(\displaystyle QR\) szakasszal. A \(\displaystyle K\) pontot is tartalmazó \(\displaystyle AD\) szakasz tehát merőleges a \(\displaystyle BF\) és a vele párhuzamos \(\displaystyle QR\) szakaszra. Eszerint a \(\displaystyle D\) felezőpontban a \(\displaystyle QR\) szakaszra merőleges \(\displaystyle AD\) szakasz egyenese csakis a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög \(\displaystyle PD\) súlyvonalának egyenese lehet, vagyis az \(\displaystyle A\) pont rajta van a \(\displaystyle PD\) súlyvonalon. Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle E\) pont illeszkedik a \(\displaystyle QF\), illetve \(\displaystyle RB\) súlyvonalra. Vizsgáljuk most a 2. ábrát.

Mivel \(\displaystyle QF\perp RP\), valamint \(\displaystyle RB\perp PQ\), továbbá \(\displaystyle KFA\) és \(\displaystyle KAB\) szabályos háromszögek, ezért \(\displaystyle PBA\sphericalangle=AFP\sphericalangle=30^{\circ}\), a \(\displaystyle PQR\) háromszög \(\displaystyle PD\) súlyvonala pedig egyben szögfelező is, így \(\displaystyle FPA\sphericalangle=APB\sphericalangle=30^{\circ}\).

Az \(\displaystyle FPA\) és \(\displaystyle PBA\) tehát egyenlő szárú háromszögek, amelyekre \(\displaystyle AP=AF=AB\) és ezen szakaszok hossza az \(\displaystyle AK\) szakasz hosszával is egyenlő. Ezzel beláttuk, hogy az \(\displaystyle A\) a \(\displaystyle PK\) szakasz felezőpontja, másrészt, hogy \(\displaystyle K\) valóban súlypontja a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszögnek, hiszen \(\displaystyle K\) a \(\displaystyle PD\) súlyvonalnak a \(\displaystyle P\) csúcstól távolabbi harmadolópontja. Hasonlóan egyszerűen igazolhatjuk, hogy a \(\displaystyle C\), illetve \(\displaystyle E\) a \(\displaystyle QK\), illetve \(\displaystyle RK\) szakasz felezőpontja.

Eszerint az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CD\), \(\displaystyle DE\), \(\displaystyle EF\), \(\displaystyle FA\) szakaszok rendre felezik a \(\displaystyle KPB\), \(\displaystyle KBQ\), \(\displaystyle KQD\), \(\displaystyle KDR\), \(\displaystyle KRF\), \(\displaystyle KFP\) derékszögű háromszögek területét.

Az ábrán a \(\displaystyle KAB\) háromszög területét \(\displaystyle t\)-vel jelöltük, ezért eddigi megállapításainkat és a feltételt is figyelembe véve az \(\displaystyle ABQRF\) ötszög területére \(\displaystyle T_{ABQRF}=10t=1\), tehát

Előző eredményeink alapján a \(\displaystyle PQR\) szabályos háromszög területe \(\displaystyle 12t\)-vel egyenlő, így (1) szerint

\(\displaystyle \displaystyle{T_{PQR}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5}}\)

területegység. Ezzel a megoldást befejeztük.

Statistics:

153 students sent a solution.
5 points:	89 students.
4 points:	22 students.
3 points:	23 students.
2 points:	9 students.
1 point:	7 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026