Problem C. 1887. (January 2026)
C. 1887. How many numbers are there with a base nine representation of \(\displaystyle \overline{abcabc}_9\) and exactly 40 positive divisors?
Proposed by Márton Ujházy, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Vezessük be az \(\displaystyle N = \overline{abcabc}_9\) és \(\displaystyle n = \overline{abc}_9\) jelöléseket, ekkor
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{N=\overline{abc}_9 \cdot (9^3+1) = 730n=2\cdot 5 \cdot 73 \cdot n.}\) |
Írjuk fel \(\displaystyle n\) tízes számrendszerbeli alakját: \(\displaystyle n=9^2a+9b+c\), ahol \(\displaystyle 0 \leq a, b, c \leq 8\), sőt \(\displaystyle a\neq 0\), mivel egy szám \(\displaystyle 9\)-es számrendszerben sem kezdődik \(\displaystyle 0\)-val; továbbá nyilván \(\displaystyle 81 \leq n \leq 728\). Majd írjuk fel \(\displaystyle n\)-t olyan alakban, hogy a 730-mal közös prímtényezőket kiemeljük belőle: \(\displaystyle n=2^r5^s73^t \cdot m\), ahol \(\displaystyle 0 \leq r, s, t\), valamint \(\displaystyle (730,m)=1\) (azaz a 730 és \(\displaystyle m\) legnagyobb közös osztója 1).
(1)-be visszaírva a következő adódik \(\displaystyle N\)-re:
\(\displaystyle \displaystyle{N=2^{r+1}5^{s+1}73^{t+1} \cdot m.}\)
A feladat feltétele szerint az osztók száma 40, azaz
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{40=d(N)=(r+2)(s+2)(t+2) \cdot d(m)}.\) |
Vizsgáljuk meg, milyen értékeket vehet fel \(\displaystyle d(m)\). \(\displaystyle n \leq 728\) miatt \(\displaystyle r \leq 9, s \leq 4, t \leq 1\), illetve \(\displaystyle (r+2)(s+2)(t+2)\geq 8\) miatt \(\displaystyle 1 \leq d(m) \leq 5.\) Vegyük észre, hogy \(\displaystyle t=1\) esetén (2) alapján adódna, hogy \(\displaystyle 3 \vert 40\), ami ellentmondás. Azaz \(\displaystyle t=0\). És hasonló megfontolásból következik, hogy \(\displaystyle d(m) \in \{1, 2, 4, 5\}.\)
A \(\displaystyle d(m)\) lehetséges értékei szerinti esetszétválasztással vizsgáljuk meg a \(\displaystyle 20=(r+2)(s+2) \cdot d(m)\) összefüggést, hogy megállapíthassuk, melyik esetben hány szóba jövő megoldás van.
1. eset: \(\displaystyle d(m) = 1\)
Ebben az esetben \(\displaystyle m=1\), azaz \(\displaystyle (r+2)(s+2)=20.\) Ebből a következő 3 megoldás adódik:
| r | s |
| 8 | 0 |
| 2 | 3 |
| 3 | 2 |
2. eset: \(\displaystyle d(m) = 2\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=10\). Ebből a következő 1, majd 19 megoldás adódik:
Ha \(\displaystyle r=0, s=3\), úgy \(\displaystyle m \leq 5\), és mivel \(\displaystyle 2\)-től és \(\displaystyle 5\)-től különböző prím, így \(\displaystyle m=3\).
Ha \(\displaystyle r=3, s=0\), úgy \(\displaystyle 81 \leq 2^3m\leq 728\) miatt \(\displaystyle 11 \leq m\leq 91\). Figyelembe véve, hogy \(\displaystyle m \neq 73\), 19 megfelelő prím adódik \(\displaystyle m\)-nek.
3. eset: \(\displaystyle d(m) = 4\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=5\). Emiatt két, \(\displaystyle 2\)-nél nagyobb szám szorzataként kellene felírni az \(\displaystyle 5\)-öt, ami nem lehetséges.
4. eset: \(\displaystyle d(m) = 5\)
Ebben az esetben \(\displaystyle (r+2)(s+2)=4\), azaz \(\displaystyle r=s=0\), vagyis \(\displaystyle n=m\). Ekkor az \(\displaystyle n\) szám osztóinak is 5 a száma, következésképpen egy prímszám negyedik hatványa. Figyelembe véve a feltételeket ekkor \(\displaystyle n=81\). Ebben az esetben csak ez az egy megoldás van.
Összesítve: 24 ilyen szám van.
Statistics:
30 students sent a solution. 5 points: Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Kámán-Gausz Péter, Mateas Isabelle, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Válek Péter, Viczián Adél. 4 points: Aaishipragya Kahaly, Abonyi Donát Tibor, Albert Luca Liliána, Bán Kincső Panni, Hirmann Dorottya, Markovics Dóra, Nelissen Sámuel Zalán, Zádori Gellért. 3 points: 5 students. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2026