Problem C. 1889. (February 2026)

C. 1889. Numbers 1 and \(\displaystyle \sqrt{5}\) are marked on the number line, and nothing else. Mark 0 on the line by construction. (The basic constructions, e.g., bisecting an angle or reflecting across a line don't have to be detailed.)

Proposed by Ferenc Veszprémi, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a számegyenesen az \(\displaystyle 1\) helyét az \(\displaystyle A\), a \(\displaystyle \sqrt{5}\) helyét a \(\displaystyle B\) pont. Eszerint az \(\displaystyle AB\) szakasz hossza \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) hosszúságegység. A \(\displaystyle 0\) helyét jelölő pontot akkor tudjuk megszerkeszteni, ha \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) segítségével elő tudjuk állítani az egységnyi hosszúságú szakaszt.

Ehhez először állítsunk merőlegest az \(\displaystyle A\) pontban az \(\displaystyle AB\) egyenesre, és ezen vegyük fel azt a \(\displaystyle C\) pontot, amelyre \(\displaystyle AC=2AB=2\cdot\big(\sqrt{5}-1\big) \), ez a \(\displaystyle C\) pont euklideszi módon megszerkeszthető. Tekintsük az 1. ábrát.

1. ábra

A Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy \(\displaystyle BC^2=\big(\sqrt{5}-1\big)^2+4\cdot\big(\sqrt{5}-1\big)^2=5\cdot (\sqrt 5-1)^2\), ebből a gyökvonás elvégzése után azt kapjuk, hogy

A \(\displaystyle BC\) szakaszt mérjük föl a \(\displaystyle B\) pontból az \(\displaystyle AB\) félegyenesre a \(\displaystyle B\) ponton túl, ezzel megszerkesztjük a \(\displaystyle D\) pontot, illetve az \(\displaystyle AD\) szakaszt. Nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle AD=AB+BD\), és mivel \(\displaystyle BD=BC\), ezért \(\displaystyle AB=\sqrt{5}-1\) és (1) alapján az \(\displaystyle AD\) szakasz hossza

Szakaszok felezőpontja a felezőmerőleges szerkesztésével meghatározható. Ennek megfelelően a következő ábrán megrajzoljuk az \(\displaystyle AD\) szakasz \(\displaystyle E\), illetve az \(\displaystyle ED\) szakasz \(\displaystyle F\) felezőpontját.

2. ábra

Mivel (2) szerint \(\displaystyle AD=4\), ezért \(\displaystyle AE=ED=2\) és \(\displaystyle EF=FD=1\). Ezzel előállítottuk az egységnyi hosszúságú szakaszt, ennek segítségével pedig megszerkesztettük a \(\displaystyle BA\) félegyenesen az \(\displaystyle A\) ponton túl azt az \(\displaystyle O\) pontot, amelyre \(\displaystyle AO=1\). Az \(\displaystyle O\) éppen a \(\displaystyle 0\) helyét jelöli a számegyenesen, hiszen az \(\displaystyle A\) éppen az \(\displaystyle 1\) számot jelöli. Ezzel a megoldást befejeztük.

Megjegyzések. 1) A feltételek alapján az \(\displaystyle AB\) számegyenesen bármely racionális szám, és végtelen sok irracionális szám helye is megszerkeszthető, az irracionális számok közül nem szerkeszthető például a \(\displaystyle \pi\) szám helye.

2) Az \(\displaystyle 0\) helyének szerkesztése megoldható más úton is. Ehhez figyelembe vehetjük, hogy egy szakaszt az aranymetszés arányának megfelelően osztunk két részre, ha a rövidebb és a hosszabb rész aránya pontosan \(\displaystyle \displaystyle{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\), ez pedig éppen az \(\displaystyle AB\) szakasz hosszának fele. Ez a szerkesztési mód azonban lényegesen hosszabb a megoldásban leírt szerkesztésnél.

3) Egy másik szerkesztés vázlata a következő: vegyünk fel egy tetszőleges téglalapot, mely oldalainak aránya \(\displaystyle 1:2\). Ekkor, ha a téglalap rövidebb oldalának hossza \(\displaystyle a\), akkor az átlója \(\displaystyle \sqrt5\cdot a\) hosszú. Ha egy, a megoldásbeli \(\displaystyle B\) pontból induló segédfélegyenesre felmérünk megfelelő módon egy \(\displaystyle \sqrt{5} \cdot a\) és egy \(\displaystyle a\) hosszú szakaszt, a párhuzamos szelők tételét használva a \(\displaystyle 0\) helye könnyen kijelölhető.

Statistics:

108 students sent a solution.
5 points:	65 students.
4 points:	10 students.
3 points:	9 students.
2 points:	1 student.
1 point:	4 students.
0 points:	18 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026