Problem C. 1890. (February 2026)

C. 1890. Prove that the irrational number \(\displaystyle \sqrt[3]{a}\) cannot be written as \(\displaystyle b+c\sqrt{d}\), where \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) and \(\displaystyle d\) are non-negative integer numbers.

Proposed by Bálint Bíró, Eger

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt bizonyítsunk: tegyük fel, hogy léteznek olyan \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\), \(\displaystyle d\) természetes számok, melyekre \(\displaystyle \sqrt[3]a\) irracionális, és \(\displaystyle \sqrt[3]a=b+c\sqrt d\).

Emeljük mindkét oldalt harmadik hatványra, majd rendezzük a \(\displaystyle \sqrt d\)-t tartalmazó kifejezéseket egy oldalra:

\(\displaystyle a=b^3+3b^2c\sqrt d+3bc^2d+c^3d\sqrt d,\)

\(\displaystyle a-b^3-3bc^2d=(3b^2c+c^3d)\sqrt d.\)

Ha \(\displaystyle 3b^2c+c^3d\ne 0\), akkor oszthatunk vele, és azt kapjuk, hogy

\(\displaystyle \sqrt d=\frac{a-b^3-3bc^2d}{3b^2c+c^3d},\)

ami két egész szám hányadosa, tehát biztosan racionális szám. Ekkor viszont \(\displaystyle \sqrt[3]a=b+c\sqrt d\) is racionális lenne, ami ellentmond a feltevésünknek.

Már csak azt az esetet kell megvizsgálnunk, amikor \(\displaystyle 3b^2c+c^3d=0\). Mivel mindkét tag természetes szám, ez csak úgy lehetséges, ha külön-külön mind a kettő \(\displaystyle 0\). Ez pontosan akkor igaz, ha vagy \(\displaystyle c=0\), vagy pedig \(\displaystyle b=d=0\). Viszont ha akár \(\displaystyle c\), akár \(\displaystyle d\) nulla, abból következik, hogy \(\displaystyle \sqrt[3]a=b+c\sqrt d=b\), ami természetes szám, így nem lehet irracionális.

A feltevésünk mindkét esetben ellentmondásra vezet, tehát egyetlen \(\displaystyle \sqrt[3]a\) irracionális szám sem írható fel \(\displaystyle b+c\sqrt d\) alakban.

Statistics:

141 students sent a solution.
5 points:	102 students.
4 points:	9 students.
3 points:	8 students.
2 points:	10 students.
1 point:	2 students.
0 points:	8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026