Problem C. 1891. (February 2026)

C. 1891. Let \(\displaystyle I\) denote the incenter of triangle \(\displaystyle ABC\), and let line \(\displaystyle AI\) intersect the circumcircle of the triangle at point \(\displaystyle D\). Let the circumcircle of triangle \(\displaystyle CDI\) intersect line segment \(\displaystyle BC\) at point \(\displaystyle E\). Prove that \(\displaystyle BE=IE\).

Proposed by David Nguyen, Sydney, Australia

(5 pont)

Deadline expired on March 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bizonyítás során a kerületi szögek tételét fogjuk alkalmazni mindkét körre.

Elsőként tekintsük az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének a \(\displaystyle B\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AC\) ívét. Az \(\displaystyle ABC\sphericalangle\) és a \(\displaystyle ADC\sphericalangle\) egyaránt ehhez az \(\displaystyle AC\) ívhez tartozó kerületi szögek, így nagyságuk egyezik. Ez alapján a szokásos jelölések mellett \(\displaystyle ADC\sphericalangle=ABC\sphericalangle=\beta\).

Az \(\displaystyle ADC\sphericalangle=IDC\sphericalangle\) a \(\displaystyle CDI\) körben is kerületi szög, amely a \(\displaystyle D\) pontot nem tartalmazó \(\displaystyle CI\) ívhez tartozik, ugyanúgy, ahogy a \(\displaystyle IEC\sphericalangle\) is, amelynek nagysága emiatt szintén \(\displaystyle \beta\).

Tekintsük most a \(\displaystyle BEI\) háromszöget. A háromszög \(\displaystyle E\) csúcsánál fekvő belső szöge az előzőek szerint \(\displaystyle 180^\circ-\beta\), az \(\displaystyle IBE\sphericalangle\) nagysága a \(\displaystyle BI\) szögfelező volta miatt pedig \(\displaystyle \frac{\beta}{2}\). Utóbbi kettőből kapjuk, hogy

\(\displaystyle \displaystyle{EIB\sphericalangle=180^\circ -(180^\circ-\beta)-\frac{\beta}{2}=\frac{\beta}{2}}.\)

Eszerint a \(\displaystyle EIB\) háromszög egyenlő szárú, azaz \(\displaystyle BE=IE\).

Meg kell még gondolnunk, hogy az \(\displaystyle E\) pont mindenképpen létrejön-e, azaz a \(\displaystyle CDI\) háromszög körülírt köre metszheti-e a \(\displaystyle BC\) egyenest a \(\displaystyle BC\) oldalon kívül.

Ez nem fordulhat elő, az előzőekben ugyanis láttuk, hogy \(\displaystyle IEC\sphericalangle=\beta\), tehát az \(\displaystyle E\) pontot úgy is megkaphatjuk, hogy a beírt kör középpontján át párhuzamost húzunk az \(\displaystyle AB\) oldallal, majd vesszük a párhuzamos egyenes metszéspontját az \(\displaystyle AB\) szakasszal. Az így kapott \(\displaystyle E\) pont biztosan belső pontja a \(\displaystyle BC\) szakasznak.

Statistics:

24 students sent a solution.
4 points:	Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Farkas Noémi , Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kun Petra, Márfai Lili, Máté Kristóf, Mateas Isabelle, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Válek Péter, Viczián Adél	(15 students).
3 points:	3 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 points:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2026