Problem C. 1899. (April 2026)

C. 1899. 2227 is a special number for two different reasons. The first is that this is the next year when Pluto will be the closer to the Sun than Neptun, and the second is that three of its digits can be chosen such that their product is bigger by one than its remaining digit. How many four-digit numbers are there having the second property?

Proposed by Mátyás Czett, Zalaegerszeg

(5 pont)

Deadline expired on May 11, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Csoportosítsuk a megfelelő négyjegyű számokat aszerint, hogy mi lehet a kihagyott számjegy:

• \(\displaystyle 0\); ez esetben a másik három számjegy szorzata \(\displaystyle 1=1\cdot1\cdot1\) csak ebben a szorzat alakban áll elő
• 3 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 0\) számjegyekből áll elő.
• \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\) vagy \(\displaystyle 6\); ez esetekben a másik három számjegy szorzata egy \(\displaystyle p\) prímszám, mely csak a \(\displaystyle p\cdot1\cdot1\) alakban áll elő
• 4 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p-1\), \(\displaystyle p\) számjegyekből áll, ha \(\displaystyle p-1=1\),
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle p-1\), \(\displaystyle p\) számjegyekből áll, ha \(\displaystyle p-1\) a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle 6\) számjegyek közül való,
• ez összesen 40 szám.
• \(\displaystyle 3\), ez esetben a másik három szám \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 1\), vagy \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\) számjegyekből áll, és
• 12 olyan, amely a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 3\) számjegyekből áll,
• ez összesen 24 szám.
• \(\displaystyle 5\), ez esetben a másik három szám \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 1\) vagy \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 6\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből áll, és
• 24 olyan, amely a \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 5\) számjegyekből áll,
• ez összesen 36 szám.
• \(\displaystyle 7\); ez esetben a másik három számjegy szorzata \(\displaystyle 8=8\cdot1\cdot1=4\cdot2\cdot1=2\cdot2\cdot2\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, amely a \(\displaystyle 8\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll,
• 24 olyan, amely a \(\displaystyle 4\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll, és
• 4 olyan, amely a \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 7\) számjegyekből áll,
• ez összesen 40 szám.
• \(\displaystyle 8\); ekkor a másik három jegy szorzata \(\displaystyle 9=9\cdot1\cdot1=3\cdot3\cdot1\)
• 12 olyan négyjegyű szám van, melynek számjegyei \(\displaystyle 9\), \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 8\), illetve
• 12 olyan, melynek jegyei \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle 1\) és \(\displaystyle 8\),
• ez összesen 24 szám.
• \(\displaystyle 9\); ekkor a maradék három jegy szorzata \(\displaystyle 10\), ami csak úgy lehetséges, ha a három jegy \(\displaystyle 5\), \(\displaystyle 2\) és \(\displaystyle 1\)
• 24 ilyen négyjegyű szám van.

Ezeket összegezve azt kapjuk, hogy 191 megfelelő négyjegyű szám van.

Lehetséges lenne, hogy egy számot több helyen is számolunk, de könnyen ellenőrizhetjük, hogy ez az eshetőség most nem áll fenn.

Statistics:

Problem C. 1899. is not processed yet.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026