Problem C. 1902. (April 2026)
C. 1902. On the smaller arc \(\displaystyle AB\) of the circumcircle of square \(\displaystyle ABCD\) we pick internal point \(\displaystyle E\). Let \(\displaystyle E'\) be the reflection of \(\displaystyle E\) across the center of the square. Let \(\displaystyle F\) and \(\displaystyle G\) be the feet of the perpendiculars from \(\displaystyle E\) to diagonals \(\displaystyle AC\) and \(\displaystyle BD\), respectively. We get similarly points \(\displaystyle H\) and \(\displaystyle I\) from point \(\displaystyle E'\).
a) Prove that quadrilateral \(\displaystyle FGHI\) is a diamond.
b) Find the maximum of the area of quadrilateral \(\displaystyle FGHI\).
Proposed by Bálint Bíró, Eger
(5 pont)
Deadline expired on May 11, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. a) Az \(\displaystyle O\) középpontú \(\displaystyle ABCD\) négyzet oldalának hosszát az általánosság sérelme nélkül megválaszthatjuk úgy, hogy \(\displaystyle AB=2\) legyen. A négyzet átlói merőlegesek egymásra, ezért nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle EGOF\) és \(\displaystyle E'IOH\) téglalapok, amiből az is következik, hogy \(\displaystyle FEG\sphericalangle=HE'I\sphericalangle=90^{\circ}\). Tekintsük az alábbi ábrát.
Az \(\displaystyle EGOF\) és \(\displaystyle E'IOH\) téglalapok egybevágók, mert egyrészt \(\displaystyle OE=OE'\), vagyis az átlóik egyenlő hosszúak, másrészt az \(\displaystyle OEG\) és \(\displaystyle OE'I\) derékszögű háromszögek hegyesszögei egyenlő nagyságúak, hiszen \(\displaystyle GOE\sphericalangle\) és \(\displaystyle IOE'\sphericalangle\) csúcsszögek.
Az ábra jelöléseivel ezért \(\displaystyle OG=OI=x\) és hasonlóan egyszerűen látható be, hogy \(\displaystyle OF=OH=y\).
Az \(\displaystyle OG=OI=x\) és \(\displaystyle OF=OH=y\) egyenlőségek miatt az \(\displaystyle FGO, GHO, HIO\) és \(\displaystyle IFO\) derékszögű háromszögek egybevágók, tehát
\(\displaystyle FG=GH=HI=IF,\)
vagyis az \(\displaystyle FGHI\) négyszög oldalai egyenlő hosszúak, azaz a négyszög valóban rombusz.
b) Az \(\displaystyle EE'\) szakasz az \(\displaystyle ABCD\) négyzet \(\displaystyle k\) körülírt körének átmérőjével, azaz
\(\displaystyle AC=BD=EE'=2\sqrt{2},\)
emiatt
\(\displaystyle OE=OE'=FG=GH=HI=IF=\sqrt{2}.\)
Az \(\displaystyle OFG\) derékszögű háromszögben felírhatjuk a Pitagorasz-tételt:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle x^2+y^2=2.\) |
A kapott (1) összefüggés szerint \(\displaystyle \displaystyle{\frac{x^2+y^2}{2}=1}\), ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=1}.\) |
A (2) egyenlet bal oldala éppen az \(\displaystyle x, y\) pozitív számok négyzetes közepe. A négyzetes és mértani közép közötti egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle \displaystyle{\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \sqrt{xy}}\), azaz (2) alapján \(\displaystyle 1\geq \sqrt{xy}\), és így
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle xy\leq 1.\) |
Az \(\displaystyle FGHI\) rombusz \(\displaystyle T\) területe \(\displaystyle \displaystyle{T=\frac{2x\cdot 2y}{2}=2xy}\), ebből (3) szerint
\(\displaystyle T\leq 2\)
következik, azaz a \(\displaystyle FGHI\) rombusz területe legfeljebb \(\displaystyle 2\) területegység lehet. A \(\displaystyle T=2\) éppen akkor áll fenn, ha a négyzetes és mértani közép egyenlő, azaz ha \(\displaystyle x=y=1\), ekkor az \(\displaystyle FGHI\) rombusz négyzet, amelynek oldalai párhuzamosak az \(\displaystyle ABCD\) négyzet oldalaival.
Statistics:
28 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Bao Nguyen Gia, Budai Máté, Farkas Noémi , Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kun Petra, Márfai Lili, Mateas Isabelle, Nelissen Sámuel Zalán, Németh Ábel, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya. 4 points: Móricz Zsombor. 3 points: 3 students. 2 points: 5 students. 1 point: 1 student. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2026