Problem C. 1904. (May 2026)
C. 1904. \(\displaystyle AB\) is the hypotenuse of right triangle \(\displaystyle ABC\). Let \(\displaystyle D\) be the foot of the altitude from \(\displaystyle C\). Let \(\displaystyle E\) be the foot of the perpendicular from \(\displaystyle D\) to \(\displaystyle AC\), and let \(\displaystyle F\) be the foot of the perpendicular from \(\displaystyle E\) to \(\displaystyle AB\). Given that \(\displaystyle F\) is the midpoint of the hypotenuse, find the lengths of the legs of the triangle.
Proposed by Márton Ujházy, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. Megoldás. Legyen a szokásos jelölések szerint \(\displaystyle BC=a, CA=b, CAB\sphericalangle=\alpha, ABC\sphericalangle=\beta\). Tekintsük az alábbi ábrát, amelyen merőlegest állítottunk az \(\displaystyle AB\) átfogó \(\displaystyle F\) felezőpontjából az \(\displaystyle AC\) befogóra, a merőleges talppontját \(\displaystyle G\)-vel jelöltük.
Az \(\displaystyle FG\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle BC\)-vel párhuzamos középvonala, ezért
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \displaystyle{FG=\frac{a}{2}}.\) |
A megfelelő szögek egyenlősége miatt az \(\displaystyle AFG\), \(\displaystyle FEG\), \(\displaystyle EDF\), \(\displaystyle DCE\), \(\displaystyle CBD\) derékszögű háromszögek mindegyike hasonló az \(\displaystyle ABC\) háromszöghöz, tehát ezek a háromszögek egymáshoz is hasonlók.
Jelöljük \(\displaystyle \lambda\)-val az \(\displaystyle ABC\) háromszögben az \(\displaystyle AC\) befogó és és az \(\displaystyle AB\) átfogó hosszának arányát: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{AC}{AB}=\lambda}\), mivel \(\displaystyle AC=b\) és \(\displaystyle AB=1\), ezért
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \lambda=b.\) |
Az \(\displaystyle AFG\), \(\displaystyle FEG\), \(\displaystyle EDF\), \(\displaystyle DCE\), \(\displaystyle CBD\) háromszögekben a \(\displaystyle \beta\) szögekkel szembeni befogók és a megfelelő átfogók hosszának aránya ugyancsak \(\displaystyle \lambda\), ezért felírhatjuk, hogy
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \displaystyle{\frac{CD}{a}=\frac{DE}{CD}=\frac{EF}{DE}=\frac{FG}{EF}=\lambda}.\) |
A (3) egyenlőségekből egyszerűen adódik, hogy \(\displaystyle FG=a\cdot \lambda^4\), ebből (1) és (2) alapján azt kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\lambda^4=\frac{1}{2}}\), innen pedig
\(\displaystyle \displaystyle{b=\lambda=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\approx 0,841}.\)
Ebből az \(\displaystyle ABC\) háromszögre felírt Pitagorasz-tétel alapján \(\displaystyle a^2+b^2=1\), ahonnan
\(\displaystyle \displaystyle{a=\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\approx 0,541}.\)
2. Megoldás. Tekintsük az 1. ábrához nagyon hasonló 2. ábrát, de az utóbbin a \(\displaystyle DF\) szakasz hosszát \(\displaystyle x\)-szel jelöltük.
A feltételek szerint \(\displaystyle \displaystyle{AF=BF=\frac{1}{2}}\), így
\(\displaystyle \displaystyle{AD=\frac{1}{2}+x;\qquad BD=\frac{1}{2}-x}.\)
Célunk az \(\displaystyle x\) szakasz hosszának meghatározása. Alkalmazzuk az \(\displaystyle ABC\) háromszög befogóira a befogótételt: \(\displaystyle a^2=BD\cdot AB\), illetve \(\displaystyle b^2=AD\cdot AB\), azaz
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle \displaystyle{a^2=\frac{1}{2}-x;\qquad b^2=\frac{1}{2}+x},\) |
hiszen \(\displaystyle AB=1\).
Az \(\displaystyle ADE\) derékszögű háromszög \(\displaystyle EF\) magasságára vonatkozó magasságtételből: \(\displaystyle EF^2=AF\cdot DF\), azaz
| \(\displaystyle (5)\) | \(\displaystyle \displaystyle{EF^2=\frac{1}{2}x}.\) |
Mivel \(\displaystyle DE\perp AC\) és \(\displaystyle BC\perp AC\), ezért \(\displaystyle DE\parallel BC\), tehát felírhatjuk a párhuzamos szelőszakaszok tételét az \(\displaystyle BAC\sphericalangle=\alpha\) szög szárait metsző és a szárak közé eső szakaszokra: \(\displaystyle \displaystyle{\frac{DE}{a}=\frac{AD}{AB}}\), azaz \(\displaystyle \displaystyle{\frac{DE}{a}=\frac{\frac{1}{2}+x}{1}}\), ahonnan rendezés és négyzetre emelés után
| \(\displaystyle (6)\) | \(\displaystyle \displaystyle{DE^2=a^2\cdot \Big(\frac{1}{2}+x\Big)^2}.\) |
A \(\displaystyle DEF\) derékszögű háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt: \(\displaystyle EF^2+x^2=DE^2\), ebből (4)-(5)-(6) felhasználásával kapjuk, hogy \(\displaystyle \displaystyle{\frac{1}{2}x+x^2=\big(\frac{1}{2}-x\Big)\cdot\Big(\frac{1}{2}+x\Big)^2}\), illetve
\(\displaystyle \displaystyle{x\cdot\Big(\frac{1}{2}+x\Big)=\big(\frac{1}{2}-x\Big)\cdot\Big(\frac{1}{2}+x\Big)^2},\)
innen pedig a nyilvánvalóan pozitív \(\displaystyle \displaystyle{\Big(\frac{1}{2}+x\Big)}\) tényezővel osztva, rendezés és \(\displaystyle 4\)-gyel való szorzás után a
| \(\displaystyle (7)\) | \(\displaystyle 4x^2+4x-1=0\) |
másodfokú egyenletet kapjuk. A (7) egyenletnek egy pozitív és egy negatív gyöke van, de mivel nyilvánvaló, hogy \(\displaystyle x>0\), ezért a pozitív gyök
\(\displaystyle \displaystyle{x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}},\)
amelyből (4) alapján
\(\displaystyle \displaystyle{a^2=\frac{2-\sqrt{2}}{2};\qquad b^2=\frac{\sqrt{2}}{2}},\)
és így
\(\displaystyle \displaystyle{a=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\approx 0,541;\qquad b=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}\approx 0,841}.\)
Ezzel a feladat megoldását befejeztük.
Statistics:
93 students sent a solution. 5 points: 80 students. 4 points: 3 students. 3 points: 3 students. 2 points: 1 student. 1 point: 2 students. 0 points: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026