Problem C. 1906. (May 2026)
C. 1906. We draw all the excircles tangent to the sides of a circumscribed trapezoid. Prove that the sum of the areas of the circles tangent to the bases is at least as big as the sum of the areas of the circles tangent to the legs.
Proposed by Márton Ujházy, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on June 10, 2026.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
Jelölje a trapéz hosszabbik alapját \(\displaystyle a\), a rövidebbet \(\displaystyle c\), a szárak metszéspontját pedig O (feltéve, hogy a szárak nem párhuzamosak). Az \(\displaystyle a\) oldalhoz írt kört jelölje \(\displaystyle k_a\), a \(\displaystyle c\)-hez írt kört \(\displaystyle k_c\), a trapéz beírt körét pedig \(\displaystyle k\) (a trapéznak azért létezik beírt köre, hiszen a feladat szövege szerint érintőtrapéz).
Mivel a szárakhoz írt kör átmérője egyezik a trapéz magasságával, ezért sugaraik egyenlőek, sőt, egyeznek a trapéz beírt körének sugarával is. Emiatt a bizonyítandó állítás így is megfogalmazható:
| \(\displaystyle (1).\) | \(\displaystyle \displaystyle{2\cdot T_k\leq T_{k_a}+T_{k_c}} \) |
Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle OAB\) háromszög egy \(\displaystyle O\) középpontú középpontos hasonlósággal az \(\displaystyle ODC\) háromszögbe vihető, a hasonlóság aránya \(\displaystyle \frac{CD}{AB}=\frac{c}{a}\). Ez a transzformáció az \(\displaystyle OAB\) háromszög beírt körét az \(\displaystyle ODC\) háromszög beírt körébe viszi. Mivel a hasonló alakzatok területének aránya a hasonlósági arányszám négyzete, ezért
\(\displaystyle \frac{T_{k_c}}{T_k}=\frac{c^2}{a^2}.\)
Elmondható továbbá az is, hogy az előbb vizsgált hasonlóság az \(\displaystyle OAB\) háromszög \(\displaystyle AB\) oldalához írt kört az \(\displaystyle ODC\) háromszög \(\displaystyle CD\) oldalához írt körbe viszi, ami egyben a trapéz beírt köre is. Ebből adódik, hogy \(\displaystyle \frac{T_{k}}{T_{k_a}}=\frac{c^2}{a^2}\), átrendezve
\(\displaystyle T_{k_a}=\frac{a^2}{c^2}\cdot T_k.\)
Ezeket az összefüggéseket az \(\displaystyle (1)\) egyenlőtlenségbe helyettesítve kapjuk, hogy a bizonyítandó állítás:
\(\displaystyle 2\cdot T_k\leq \frac{a^2}{c^2}\cdot T_k+ \frac{c^2}{a^2}\cdot T_k.\)
Osztva a kapott egyenlőtlenség mindkét oldalát a biztosan pozitív \(\displaystyle T_k\)-val, adódik, hogy a \(\displaystyle 2\leq \frac{a^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2}\) egyenlőtlenséget kell bizonyítanunk.
Ez viszont biztosan igaz, hiszen bármely pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, speciáisan a \(\displaystyle \frac{a^2}{c^2}\) és \(\displaystyle \frac{c^2}{a^2}\) összege is.
Meg kell még vizsgálnunk azt az esetet, amikor a trapéz szárai párhuzamosak, hiszen ilyenkor nem jönnek létre a bizonyításban felhasznált háromszögek. Ha a szárak párhuzamosak, a négyszög biztosan paralelogramma. A szemközti oldalpárok hosszát \(\displaystyle a\)-val és \(\displaystyle b\)-vel jelölve, az érintőnégyszögek tétele szerint \(\displaystyle a+a=b+b\), tehát \(\displaystyle a=b\), azaz a négyszög rombusz is. Rombusz esetén viszont mind a négy hozzáírt kör egyenlő sugarú, hiszen a rombusz átlóira való tükrözésekkel egymásba vihetőek. Ebből adódik, hogy az eredeti állítás ebben az esetben is teljesül, méghozzá egyenlőséggel.
Megjegyzés: A bizonyításból az is látszik, hogy más esetben nem lehet egyenlőség. Egyenlőség ugyanis a nem párhuzamos szárú esetben csak akkor állhatna fenn, ha a felhasznált \(\displaystyle x+\frac{1}{x}\geq 2\) egyenlőtlenségben is egyenlőség szerepelne, ez viszont csak \(\displaystyle x=1\) esetén teljesül. A mi számításunkban \(\displaystyle x=\frac{a^2}{c^2}\), ami csak \(\displaystyle a=c\) esetben lesz 1. Ez viszont a korábban látott paralelogramma esete, más esetben tehát nem teljesülhet egyenlőséggel az állítás.
Statistics:
15 students sent a solution. 5 points: Aaishipragya Kahaly, Albert Luca Liliána, Budai Máté, Hetyei Dániel, Móricz Zsombor, Poczai Dorottya (6 students). 3 points: 1 student. 2 points: 3 students. 1 point: 2 students. 0 points: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026