Problem C. 1907. (May 2026)

C. 1907. We wrote down all the fractions between \(\displaystyle 0\) and \(\displaystyle 1\) that have a denonimator of at most \(\displaystyle 99\) in increasing order. Find the fraction right after \(\displaystyle \displaystyle{\frac{11}{21}}\).

Proposed by György Birkás, Siófok

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2026.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Olyan \(\displaystyle \displaystyle{\frac{a}{b}}\) számot keresünk (\(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\) pozitív egészek), amelyre teljesül, hogy \(\displaystyle b < 100\) és az \(\displaystyle \frac ab-\frac{11}{21}\) különbség pozitív, de a lehető legkisebb.

Állításunk, hogy az \(\displaystyle \displaystyle{\frac ab-\frac{11}{21}=\frac{21a-11b}{21b}}\) a lehető legkisebb akkor lesz, ha a számlálója \(\displaystyle 1\), és ezen belül a nevező a lehető legnagyobb. Először keressünk a feltételnek megfelelő \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) értékeket.

Ha \(\displaystyle 21a - 11b = 1\), akkor \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) többféle értéket is felvehet.

A \(\displaystyle b\) egy megfelelő értékét akkor kapjuk, ha \(\displaystyle 21a - 1\) osztható \(\displaystyle 11\)-gyel. \(\displaystyle 21a - 1 = 11a + 10a - 1\), a legkisebb \(\displaystyle a\) érték, amire ez teljesül, az \(\displaystyle a = 10\), ekkor \(\displaystyle b = 19\).

A korábbi összefüggésből \(\displaystyle 11b+1\) osztható 21-gyel. A legnagyobb \(\displaystyle b\) értéket úgy kapjuk, hogy a \(\displaystyle 19\)-ből kiindulva azt a legnagyobb megfelelő értékkel növeljük. A \(\displaystyle 11(19+d)+1 = 11\cdot19 + 1 +11d = 209 +1 +11d = 21\cdot10 + 11d\) miatt \(\displaystyle 11d\)-nek is oszthatónak kell lennie 21-gyel.

Mivel \(\displaystyle (11, 21)=1\), ezért \(\displaystyle d\)-nek is oszthatónak kell lennie \(\displaystyle 21\)-gyel. A legnagyobb megfelelő \(\displaystyle d\) így a \(\displaystyle 63\) (mert \(\displaystyle d + 19 < 100\)), tehát a legnagyobb megfelelő \(\displaystyle b\) érték \(\displaystyle b = 82\). Az ehhez tartozó \(\displaystyle a = 43\) miatt az általunk keresett szám a \(\displaystyle \frac{43}{82}\).

Az így kapott eltérés \(\displaystyle \frac{43}{82}-\frac{11}{21}=\frac1{1722}\). Ha az \(\displaystyle \frac ab-\frac{11}{21}=\frac{21a-11b}{21b}\) eltérés számlálója \(\displaystyle k > 1\) lenne, akkor \(\displaystyle \frac k{21b}<\frac1{1722}\) esetén lenne az \(\displaystyle \frac ab\) a \(\displaystyle \frac{11}{21}\)-hez közelebb, mint a \(\displaystyle \frac{43}{82}\). Ez viszont azt jelentené, hogy \(\displaystyle 1722k<21b\) állna fenn, ami \(\displaystyle 82k<b\) esetén teljesülne csak, de ekkor \(\displaystyle b\) kiesne a megengedett tartományból. Tehát a \(\displaystyle \frac{11}{21}\) után közvetlenül a \(\displaystyle \frac{43}{82}\) áll.

Statistics:

21 students sent a solution.
5 points:	Aaishipragya Kahaly, Budai Máté, Csizmadia Ronald, Dornbach Bernadett, Hetyei Dániel, Hirmann Dorottya, Kun Petra, Mateas Isabelle, Móricz Zsombor, Nelissen Sámuel Zalán, Papp Emese Petra, Poczai Dorottya	(12 students).
3 points:	5 students.
2 points:	2 students.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2026