Problem C. 807. (April 2005)

C. 807. The lengths of two adjacent sides of a quadrilateral are 2 units and 1 unit, and they enclose an angle of 60^o. The quadrilateral is cyclic and it is also a tangent quadrilateral. What are the lengths of the other two sides?

(5 pont)

Deadline expired on May 17, 2005.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen ABCD a keresett négyszög.

Az ABC háromszögre írjuk fel a koszinusz tételt.

AC²=1²+2²-2^.1^.2cos 60^o.

Innen AC²=3, és így $AC=\sqrt3$ . Mivel a négyszög húrnégyszög, azért ADC szöge 120^o-os. Jelölje az oldalakat AD=y, DC=x. Mivel a négyszög érintőnégyszög is, azért 1+x=2+y és innen y=x-1.

Írjuk fel az ADC háromszögre is a koszinusz tételt: 3=x²+y²+xy, az y=x-1 helyettesítéssel 3=x²+(x-1)²+x(x-1). Innen 3x²-3x-2=0, és így $x_1={3+\sqrt{33}\over6}\approx1,4574$ , $x_2={3-\sqrt{33}\over6}<0$ . Tehát csak egy megoldás van: x=1,4574, y=1,4574-1=0,4574.

Statistics:

167 students sent a solution.

5 points: 146 students.

4 points: 2 students.

3 points: 2 students.

2 points: 2 students.

1 point: 9 students.

0 point: 6 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2005

167 students sent a solution.
5 points:	146 students.
4 points:	2 students.
3 points:	2 students.
2 points:	2 students.
1 point:	9 students.
0 point:	6 students.

Already signed up?
New to KöMaL?