Problem C. 888. (February 2007)

C. 888. The measures of the volume and the surface area of a cube with edges of 6 unit lengths are both 216. Find all square based prisms of integer edges that have this property.

(5 pont)

Deadline expired on March 19, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje a négyzet oldalát a, a hasáb másik élét pedig b. Ekkor a²b=2a²+4ab, ami a>0 miatt pontosan akkor teljesül, ha ab=2a+4b. Ekvivalens átalakításokkal a(b-2)=4b, majd (mivel b=2 nem megoldás)

Tehát b-2 osztója 8-nak. Mivel b pozitív, ezért b-2 lehetséges értékei -1, 1, 2, 4 és 8. A -1 esetén a negatív lenne. A többi esetben rendre a következő megoldásokat kapjuk:

(a,b)=(12,3); (8,4); (6,6); (5,10).

Statistics:

345 students sent a solution.
5 points:	287 students.
4 points:	17 students.
3 points:	17 students.
2 points:	9 students.
1 point:	4 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2007