Problem C. 892. (March 2007)

C. 892. Prove that if x, y, z are positive real numbers and xyz=1, then the values of the expressions

$\frac{1}{1+x+xy},\qquad \frac{y}{1+y+yz},\qquad \frac{xz}{1+z+xz}$

cannot all be greater than $\frac{1}{3}$ .

(5 pont)

Deadline expired on April 16, 2007.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Indirekt bizonyítunk. Tegyük föl, hogy mindhárom kifejezés nagyobb, mint 1/3. Ekkor teljesül az is, hogy:

3>1+x+xy,

3y>1+y+yz,

3xz>1+z+xz.

Ezekből z helyére 1/xy-t beírva

(1)

3>1+x+xy,

(2)	3y>1+y+1/x,

(3)	3x^.1/xy>1+1/xy+x^.1/xy

következik. (1)-hez hozzáadva (2) x-szeresét és (3) xy-szorosát kapjuk, hogy:

3+3xy+3x>3+3x+3xy,

ami lehetetlen.

Kezdeti feltevésünk tehát hamis, nem lehet mindegyik kifejezés 1/3-nál nagyobb.

Statistics:

238 students sent a solution.

5 points: 168 students.

4 points: 23 students.

3 points: 8 students.

2 points: 2 students.

1 point: 4 students.

0 point: 17 students.

Unfair, not evaluated: 16 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2007

238 students sent a solution.
5 points:	168 students.
4 points:	23 students.
3 points:	8 students.
2 points:	2 students.
1 point:	4 students.
0 point:	17 students.
Unfair, not evaluated:	16 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?