Problem C. 920. (December 2007)

C. 920. A field is bounded on one side by a 50-metre-long wall. Mehemed wants to surround the largest possible rectangular area with an electric fence for his grazing his cows. How can he achieve that if he has 44 metres of wire that he can fix to the ground with poles at

a) 1-metre,

b) 2-metre intervals.

What is the area of the surrounded pasture in each case?

(5 pont)

Deadline expired on January 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az elkerített téglalap falra merőleges oldalának hosszát méterben x, a másikét y. Ekkor a kerítés hosszúsága alapján 2x+y=44, az elkerített terület pedig xy. Az első egyenletből y-t kifejezve a terület x függvényében x(44-2x)=-2x²+44x=-2(x-11)²+242.

Ez egy negatív főegyütthatójú másodfokú függvény, legnagyobb értékét x=11-nél veszi föl, amely az a) esetben a keresett legnagyobb terület értéke: 242 m², y=22. A b) esetben x csak páros szám lehet. Mivel a terület függvénye x11 esetén szigorú monoton növekedő, x11 esetén szigorú csökkenő, ezért a 11-hez legközelebbi két páros számra veszi föl a legnagyobb értékét, ami x₁=10 (y₁=24) és x₂=12 (y₂=20) esetén egyaránt -2^.1²+242=240.

Statistics:

356 students sent a solution.
5 points:	185 students.
4 points:	54 students.
3 points:	50 students.
2 points:	16 students.
1 point:	16 students.
0 point:	29 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2007