Problem C. 932. (February 2008)
C. 932. How many triangles of different shapes are there in which the measures of the angles in degrees are all integers?
(5 pont)
Deadline expired on March 17, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A kérdés ugyanaz, mintha azt kérdeznénk, hogy hányféleképpen lehet a 180-at három pozitív egész szám összegeként felírni, ha a számok sorrendje nem számít.
Ha számítana a sorrend is, akkor az összes lehetőségek száma lenne, hiszen ha leírunk egymás mellé 180 darab 1-est, akkor a szomszédosak közötti 179 hely közül kell kettőt kiválasztani, hogy a 180 darab 1-est három részre osszuk.
Ha a+b+c=180, és a, b, c különböző pozitív egész számok, akkor ennek a három számnak 3!=6-féle különböző sorrendje van. Tehát a különböző alakú, nem egyenlő szárú háromszögek számát x-szel jelölve, 6x darab ilyen háromszög van, ha számít a szögek sorrendje. Ha a+a+b=180, és a, b különböző pozitív egész számok, akkor ennek a három számnak 3-féle különböző sorrendje van. Tehát az egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú, különböző alakú háromszögek számát y-nal jelölve, 3y ilyen háromszög van, ha számít a szögek sorrendje. Egyenlő oldalú háromszög 1 van.
Ezek alapján:
| (1) |
Az egyenlő szárú, de nem egyenlő oldalú háromszögek száma pedig 88, hiszen az alapon fekvő szögek nagysága fokban az 1-től 89-ig terjedő egész számok közül a 60 kivételével bármi lehet. Tehát y=88. Ezt behelyettesítve (1)-be kapjuk, hogy 15931=6x+3.88+1, ahonnan x=2611.
Így a különböző alakú háromszögek száma: x+y+1=2611+88+1=2700.
Statistics:
204 students sent a solution. 5 points: Benyó Krisztián, Bereczki 118 Katalin, Besnyő Réka, Botond Ákos, Böröcz 369 Bence, Buzsáki Dániel, Fónagy 092 Fanni, Garamszegi Balázs, Gerencsér András, Gubicza Krisztina, Gyarmati Máté, Horváth Anikó, Janosov Milán, Kalocsai Ákos, Karkus Zsuzsa, Kis-Pál Tamás, Kiss 103 Dániel, Kovács 002 Máté, Kunos Vid, Kurgyis Kata, Lantos Tamás, Lukács Ferenc, Marton Kata, Mayer Martin János, Meszlényi Regina, Mihálka Éva Zsuzsanna, Molnár Kristóf, Nagy 103 Dóra, Najbauer Eszter Éva, Németh 144 Bálint, Orosz Ákos, Pásztor Bálint, Pintér Barbara, Poócza Katalin, Róka Péter, Simon Gergely, Strenner Péter, Tóth 060 Dániel, Tóth Péter, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra. 4 points: 68 students. 3 points: 31 students. 2 points: 11 students. 1 point: 20 students. 0 point: 28 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008