Problem C. 933. (February 2008)
C. 933. ABC is a given triangle. Find that line passing through the vertex C where the perimeter of triangle ABD is greater than the perimeter of the triangle ABC for all points D of the line that are different from C.
Suggested by G. Holló, Budapest
(5 pont)
Deadline expired on March 17, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel az AB szakasz bármilyen C pont választása mellett minden háromszögben benne lesz, ezért elég az AC+BC összeg legkisebb értékét vizsgálni. Tükrözzük a B pontot az e egyenesre (B'), és kössük össze C-vel. A tükrözés miatt BC=CB', tehát AC+BC=AC+CB'.
Látható, hogy ha D=AB'
e, akkor az így kapott háromszög kerülete kisebb, mint az ABC háromszögé. Ezért a B' pont rajta kell, hogy legyen az AC egyenesen. Ez pedig csak akkor van így, ha az e egyenes a háromszög C csúcsán átmenő külső szögfelezője.
Hogy ez az egyenes tényleg jó, arról az előbbi tükrözéses eljárással győződhetünk meg. (Ha a D pont éppen az e és az AB egyenes metszéspontja, akkor az ABD háromszög elfajuló háromszög.)
Megjegyzés: Ekkor az e egyenes az A ill. B fókuszpontú AC+CB nagytengelyű ellipszis érintője, hiszen ha e metszené az ellipszist egy P pontban is, akkor a CP húr bármelyik pontja még kisebb kerületet is eredményezne.
Statistics:
170 students sent a solution. 5 points: 85 students. 4 points: 17 students. 3 points: 7 students. 2 points: 11 students. 1 point: 14 students. 0 point: 36 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008