Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 934. (February 2008)

C. 934. Three rods of negligible thickness are fixed to each other in a common point at one end, in pairwise perpendicular positions. The lengths of the rods are 1, 2 and 3. The rigid structure is placed on the table with the free ends of the rods touching the table. Determine the height of the common endpoint above the plane of the table.

(5 pont)

Deadline expired on March 17, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Jelölje az 1 hosszú rúd szabadon álló végét A, a 2 hosszú rúdét B, a 3 hosszúét C, a közös pontot pedig D.

A szabadon álló pontok távolsága Pitagorasz-tétellel: AB=\sqrt{1+4}=\sqrt5, BC=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}, CA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.

Az ABC háromszögben a leghosszabb oldallal, vagyis a BC-vel szemközti szög koszinusza a koszinusz tétellel: 13=5+10-2\sqrt5\sqrt{10}\cos\alpha, ahonnan \cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{50}}.

Ez pozitív, ezért a háromszög biztosan hegyesszögű.

sin2\alpha+cos2\alpha=1, ezért \sin^2\alpha=1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}. Mivel sin \alpha>0, ezért \sin\alpha=\frac{7}{\sqrt{50}}.

Jelölje a keresett távolságot - ami egyben az ABCD tetraéder ABC lapjához tartozó magassága - m.

T_{ABC}=\frac{AB\cdot AC\cdot\sin\alpha}{2}=\frac{\sqrt5\sqrt{10}\frac{7}{\sqrt{50}}}{2}=\frac72.

V_{ABCD}=\frac{T_{ABC}\cdot m}{3}=\frac76m.

Másként számolva a térfogatot: V_{ABCD}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1.

Vagyis \frac76m=1, azaz a keresett távolság: m=\frac67.


Statistics:

227 students sent a solution.
5 points:165 students.
4 points:30 students.
3 points:16 students.
2 points:5 students.
1 point:5 students.
0 point:5 students.
Unfair, not evaluated:1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2008