Problem C. 936. (March 2008)

C. 936. Find all positive integers that have as many factors divisible by six as factors not divisible by six.

Suggested by G. Holló, Budapest

(5 pont)

Deadline expired on April 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: Egy ilyen n szám prímtényezős felbontása $n=2^x3^y\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ alakú kell, hogy legyen, ahol p_i-k 2-től és 3-tól különböző prímek. A 6-tal osztható osztók száma: $x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)$ , tehát a feltétel alapján $2x\cdot y\cdot(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)=(x+1)(y+1)(\alpha_1+1)\cdot\ldots\cdot(\alpha_k+1)$ . Egyszerűsítés és összevonás után az xy=x+y+1 diofantoszi egyenlet adódik. Ebből x-et kifejezve (mivel y=1 nem megoldás, ezért oszthatunk (y-1)-gyel): $x=\frac{y+1}{y-1}=\frac{y-1+2}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}$ . Mivel x és 1 egész, ezért $\frac{2}{y-1}$ is egész kell, hogy legyen, így y-1 lehetséges értékei: -2, -1, 1, 2. Ebből y lehetséges értékei: -1, 0, 2, 3. Ezek közül a -1 nem jó. A megfelelő x értékek: -1 (ez nem lehet), 3, 2.

A megoldások: $n_1=2^33^2\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ és $n_2=2^23^3\cdot p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{\alpha_k}$ , tehát a 72-vel, vagy 108-cal osztható számok adják a megoldást.

Statistics:

139 students sent a solution.

5 points: Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.

4 points: 47 students.

3 points: 15 students.

2 points: 6 students.

1 point: 6 students.

0 point: 40 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008

139 students sent a solution.
5 points:	Besnyő Réka, Bogár Blanka, Boros 001 Ágnes, Börcsök Zsuzsa, Fónagy 092 Fanni, Kardos Péter, Kis-Pál Tamás, Kitzinger Andor, Kovács 125 András, Kunos Vid, Lukács Ferenc, Márki Renáta, Mihálka Éva Zsuzsanna, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Pintér Barbara, Szakács Enikő, Szalkai Zsófia, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Vadon Viktória, Varga 777 Ádám, Wang Daqian, Zsupanek Alexandra.
4 points:	47 students.
3 points:	15 students.
2 points:	6 students.
1 point:	6 students.
0 point:	40 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?