Problem C. 937. (March 2008)
C. 937. Three sides of a quadrilateral are , b=9 and . Sides a and b enclose an angle of 30o, and sides b and c enclose an angle of 90o. What angle do the diagonals enclose?
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Állítsunk D-ben merőlegest AD-re, és ennek az AB oldallal vett metszéspontja legyen E. Mivel az ADE háromszögben DAE=30o és ADE=90o, ezért a háromszög harmadik szöge, AED=60o, és AD ismeretében DE és AE is meghatározható: , illetve DE=AE/2=4.
Ezután kössük össze E-t a C ponttal. Az EBC háromszög derékszögű, befogói és 1 hosszúak, így átfogója, EC=2, és ez a háromszög is egy szabályos háromszög fele, CEB=60o és ECB=30o.
A DEC háromszög oldalai: EC=2, ED=4 és , tehát ez is egy szabályos háromszög fele, DEC=60o, DCE=90o és EDC=30o.
Tekintsük ezután az ADC és a DCB háromszöget. A két háromszög hasonló, hiszen és ADC=DCB=90o+30o=120o, tehát két oldaluk aránya és az általuk közrezárt szög megegyezik. Ez azt jelenti, hogy van olyan középpontos hasonlósági transzformáció, amely az ADC háromszöget a DCB háromszögbe viszi. Mivel az AD és a DC egyenesek által bezárt szög 180o-120o=60o, ezért az AC és a DB egyenesek által bezárt szög is 60o.
Statistics:
224 students sent a solution. 5 points: 138 students. 4 points: 60 students. 3 points: 10 students. 2 points: 8 students. 1 point: 2 students. 0 point: 3 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008