Problem C. 938. (March 2008)
C. 938. Solve the following equation on the set of pairs of integers: (x+2)4-x4=y3.
Suggested by D. Fülöp, Marcali
(5 pont)
Deadline expired on April 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: Alakítsuk át a bal oldalt:
[(x+2)-x][(x+2)3+(x+2)2.x+(x+2).x2+x3]=2(4x3+12x2+16x+8)=
=8(x3+3x2+4x+2)=8((x+1)3+(x+1))=23.(x+1)((x+1)2+1).
Mivel x+1 és (x+1)2+1 relatív prímek, ezért ez csak úgy lehet köbszám, ha mindkettő külön-külön az. Ha x+1=a3, akkor b3=(x+1)2+1=(a3)2+1=(a2)3+1. Vagyis két olyan köbszámot keresünk, amelyek között 1 a különbség. Ilyen csak a -1 és a 0, illetve a 0 és az 1.
I. eset: x+1=-1, amiből x=-2, de ekkor (x+1)2+1
0.
II. eset: x+1=0, amiből x=-1, és ekkor (x+1)2+1=1 is teljesül. Ebből pedig y3=0 miatt y=0 következik.
A feladatnak egy megoldása van: x=-1, y=0.
Statistics:
174 students sent a solution. 5 points: 90 students. 4 points: 25 students. 3 points: 12 students. 2 points: 7 students. 1 point: 25 students. 0 point: 13 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2008