Problem C. 942. (April 2008)
C. 942. In an arithmetic progression of common difference d, a1=1 and an=81. In a geometric progression of common ratio q, b1=1 and bn=81. Given that , find all such sequences.
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2008.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan . Felhasználva, hogy , ebből .
Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: , ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban qn-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a5 valóban 81.
Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.
Statistics:
163 students sent a solution. 5 points: 91 students. 4 points: 42 students. 3 points: 13 students. 2 points: 10 students. 1 point: 4 students. 0 point: 3 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2008