Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 942. (April 2008)

C. 942. In an arithmetic progression of common difference d, a1=1 and an=81. In a geometric progression of common ratio q, b1=1 and bn=81. Given that \frac qd=0.15, find all such sequences.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2008.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: A számtani sorozat n. tagjára vonatkozó képlet alapján (n-1)d=80, ahonnan d=\frac{80}{n-1}. Felhasználva, hogy \frac qd=0,15=\frac{3}{20}, ebből q=\frac{3}{20}\cdot\frac{80}{n-1}=\frac{12}{n-1}.

Ha d irracionális szám lenne, akkor (n-1)d is irracionális lenne, ami ellentmondás. Tehát d racionális, így q is az: q=\frac ab, ahol (a,b)=1, vagyis a tört számlálójában és nevezőjében nincsen közös prímtényező. Ekkor viszont 81=\left(\frac ab\right)^{n-1} számlálójában és nevezőjében sincs közös prímtényező, a törtet nem lehet egyszerűsíteni, tehát csak abban az esetben lehet egyenlő 81-gyel, ha b=1, tehát q egész. Mivel q=\frac{12}{n-1} és n legalább 2, ez csak n=2, 3, 4, 5, 7 vagy 13 esetén lehetséges. Ekkor q értéke rendre 12, 6, 4, 3, 2 és 1, azonban qn-1 csak n=5, q=3 esetén lesz 81. Ebben az esetben d=20, és a5 valóban 81.

Tehát csak egy ilyen sorozatpár van, mégpedig n=5 esetén, ekkor d=20 és q=3.


Statistics:

163 students sent a solution.
5 points:91 students.
4 points:42 students.
3 points:13 students.
2 points:10 students.
1 point:4 students.
0 point:3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2008