Problem C. 946. (May 2008)

C. 946. For what values of the constant c does the equation $x^2- 2\left|x+\frac14\right|+c=0$ have exactly three distinct real roots?

(5 pont)

Deadline expired on June 16, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás: I. eset: $x<-\frac14$ . Ekkor az egyenlet így alakul: $x^2+2x+(c+\frac12)=0$ . Ennek megoldása: $x_{12}=\frac{-2\pm\sqrt{2-4c}}{2}$ , a determináns pedig D₁=2-4c.

II. eset: $x\geq-\frac14$ . Ekkor az egyenlet: $x^2-2x+(c-\frac12)=0$ . A megoldások: $x_{34}=\frac{2\pm\sqrt{6-4c}}{2}$ , a determináns D₂=6-4c.

Ha D₁=0, akkor $c=\frac12$ , a három különböző gyök pedig -1, 2 és 0.

Ha D₂=0, akkor $c=\frac32$ , ekkor viszont D₁<0, így csak egy megoldás lenne, ez tehát nem jó.

Ha D₁ és D₂ is pozitív, akkor a négy gyök közül kell kettőnek megegyeznie.

$x_1=-1+\sqrt{\frac12-c}$ , $x_2=-1-\sqrt{\frac12-c}$ , $x_3=1+\sqrt{\frac32-c}$ , $x_4=1-\sqrt{\frac32-c}$ .

x₁ és x₂ nem lehet egyenlő, ugyanígy x₃ és x₄ sem. x₃ biztosan nagyobb x₁-nél és x₂-nél is.

Ha x₁=x₄, akkor:

$-1+\sqrt{\frac12-c}=1-\sqrt{\frac32-c},$

$2=\sqrt{\frac12-c}+\sqrt{\frac32-c},$

négyzetre emelve:

$4=2-2c+2\sqrt{\frac34+c^2-2c},$

$2+2c=2\sqrt{\frac34+c^2-2c},$

$1+c=\sqrt{\frac34+c^2-2c},$

ismét négyzetre emelve:

$c^2+2c+1=\frac34+c^2-2c,$

$4c=-\frac14,$

$c=-\frac{1}{16}.$

Ekkor x₁=x₄=-0,25, x₂=-1,75, x₃=2,25.

Ha x₂=x₄, akkor hasonlóan számolva szintén $c=-\frac{1}{16}$ adódik, azonban ez hamis gyök (ami a behelyettesítésen kívül abból is látszik, hogy az egyik négyzetre emelés előtt a bal oldal negatív lenne, míg a jobb oldal nem).

Statistics:

111 students sent a solution.

5 points: Antalóczi Ditta, Bacsó András, Benyó Krisztián, Berta Katalin, Besnyő Réka, Bezdek Ádám, Boros 001 Ágnes, Botond Ákos, Buzsáki Dániel, Cserjési Szilárd, Csuka Barna, Dér László, Fülöp Dóra, Gergely Lívia, Gyarmati Máté, Kalocsai Ákos, Karkus Zsuzsa, Kitzinger Andor, Klincsik Gergely, Kovács 235 Gábor, Kovács Solt, Kunos Vid, Lantos Tamás, Meszlényi Regina, Molnár Kristóf, Najbauer Eszter Éva, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Poócza Katalin, Remete László, Scharle András, Schindele Kornélia, Szepcsik Áron, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Varga 777 Ádám, Zsupanek Alexandra.

4 points: Pálovics Péter, Sára Tamás, Strenner Péter, Tolner Ferenc.

3 points: 10 students.

2 points: 49 students.

1 point: 4 students.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2008

111 students sent a solution.
5 points:	Antalóczi Ditta, Bacsó András, Benyó Krisztián, Berta Katalin, Besnyő Réka, Bezdek Ádám, Boros 001 Ágnes, Botond Ákos, Buzsáki Dániel, Cserjési Szilárd, Csuka Barna, Dér László, Fülöp Dóra, Gergely Lívia, Gyarmati Máté, Kalocsai Ákos, Karkus Zsuzsa, Kitzinger Andor, Klincsik Gergely, Kovács 235 Gábor, Kovács Solt, Kunos Vid, Lantos Tamás, Meszlényi Regina, Molnár Kristóf, Najbauer Eszter Éva, Orbán Réka, Papp 001 Zoltán, Poócza Katalin, Remete László, Scharle András, Schindele Kornélia, Szepcsik Áron, Szepesvári Eszter, Szikszay László, Varga 777 Ádám, Zsupanek Alexandra.
4 points:	Pálovics Péter, Sára Tamás, Strenner Péter, Tolner Ferenc.
3 points:	10 students.
2 points:	49 students.
1 point:	4 students.
0 point:	7 students.

Already signed up?
New to KöMaL?