Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 962. (November 2008)

C. 962. M is the orthocentre of the isosceles triangle ABC of base AC. Given that AC=BM, find the angles of the triangle.

(5 pont)

Deadline expired on December 15, 2008.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A C-ből induló magasság talppontját jelölje TC, a B-ből indulóét pedig TB.

I. eset: a háromszög hegyesszögű.

TCBM\angle=ABTB\angle=90o-CAB\angle=ACTC\angle. Mivel MTCB\angle=ATCC\angle=90o és AC=BM, így mindezekből következik, hogy az AT_CC_{\triangle} és az MT_CB_{\triangle} egybevágó. Ekkor CTC=BTC és így CBTC\angle=BCTC\angle is fennáll.

Legyen ACTC\angle=\alpha. Ekkor MBTC\angle=\alpha. Mivel ABC egyenlő szárú, ezért BTB egyben az ABC szögfelezője is, és így ABC\angle=2\alpha.

A háromszög szögei: ABC\angle=2\alpha, BAC\angle=ACB\angle=ACTC\angle+TCCB\angle=ACTC\angle+TCBC\angle=\alpha+2\alpha=3\alpha. Vagyis 180o=8\alpha, ahonnan \alpha=22,5o, 2\alpha=45o, 3\alpha=67,5o.

A háromszög szögei:

ABC\angle=45o, BAC\angle=ACB\angle=67,5o.

II. eset: a háromszög tompaszögű.

Ekkor az AMC háromszögre megismételhető a fenti gondolatmenet, és így ACB\angle=\alpha=22,5o, CAB\angle=ACB\angle=22,5o, végül ABC\angle=180o-2.22,5o=135o.

III. eset: A háromszög derékszögű. Ez nyilván nem lehetséges, mert ekkor BM=0, ami nem lehet egyenlő AC-vel.

Statistics:

273 students sent a solution.
5 points:Angi Réka, Boros Ágnes, Cserjési Szilárd, Fehér András, Izsó Dániel, Kalocsai Ákos, Lantos Tamás, Mihálka Éva Zsuzsanna, Poócza Eszter, Tokai-Kiss Réka, Veres Flóra, Zsupanek Alexandra.
4 points:166 students.
3 points:50 students.
2 points:6 students.
1 point:8 students.
0 point:25 students.
Unfair, not evaluated:6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2008