Problem C. 973. (January 2009)
C. 973. Solve the equation: 1+cos 3x=2cos 2x.
(5 pont)
Deadline expired on February 16, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tudjuk, hogy cos 2x=2cos2x-1 és sin 2x=2sin xcos x. Ezek felhasználásával cos 3x felírható cos x függvényeként:
cos 3x=cos 2xcos x-sin 2xsin x=(2cos2x-1)cos x-2(1-cos2x)cos x=4cos3x-3cos x.
Így a megoldandó egyenlet:
4cos3x-3cos x+1=4cos2x-2,
amit rendezve a következő harmadfokú egyenlethez jutunk:
4cos3x-4cos2x-3cos x+3=0.
Ennek a cos x=1 gyöke. Ekkor x1=2k, ahol . A bal oldalt szorzattá bontva:
(cos x-1)(4cos2x-3).
A másik gyök tehát a alakból nyerhető, amiből , és innen
Statistics:
213 students sent a solution. 5 points: 122 students. 4 points: 35 students. 3 points: 17 students. 2 points: 7 students. 1 point: 8 students. 0 point: 20 students. Unfair, not evaluated: 4 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2009