Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 975. (February 2009)

C. 975. In triangle ABC, the altitude drawn from vertex C intersects side AB at T. Right-angled triangles CAD and CBE are drawn on sides AC and BC on the outside, such that the right angles are at A and B. Given that AD=TB and BE=TA, prove that \angleCDE=\angleCED.

(5 pont)

Deadline expired on March 16, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt az ATC és a CAD háromszögre:

(1)b2=y2+m2,
(2)CD2=x2+b2.

Írjuk be (2)-be az (1)-ben b2-re kapott értéket:

(3)CD2=x2+y2+m2.

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt a BTC és a CBE háromszögre:

(4)a2=x2+m2,
(5)CE2=y2+a2.

Írjuk be (5)-be a (4)-ben a2-re kapott értéket:

(6)CE2=y2+x2+m2.

Mivel (3) és (6) jobb oldala megegyezik, ezért bal oldaluk is egyenlő: CD2=CE2. Mivel szakaszok hossza pozitív, ezért ebből CD=CE következik, tehát a CDE\triangle egyenlő szárú. Így pedig alapon fekvő szögei egyenlők: CDE\angle=CED\angle, amit bizonyítani kellett.

(Ha D, C és E egy egyenesre esnek, akkor a háromszög elfajuló, és CDE\angle=CED\angle=0o.)


Statistics:

228 students sent a solution.
5 points:214 students.
1 point:1 student.
0 point:6 students.
Unfair, not evaluated:7 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2009