Problem C. 985. (April 2009)
C. 985. A two-digit number is multiplied by 4, and the original two-digit number is written behind the number obtained. The resulting number has exactly six divisors. What may be the original two-digit number?
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen a keresett kétjegyű szám x. A megadott eljárást elvégezve a 4x.100+x=401x számhoz jutunk. Mivel ennek a számnak 6 osztója van, ezért az osztók számára vonatkozó összefüggés alapján a szám 401x=p15 vagy 401x=p1.p22 alakú.
Mivel a 401 prím, az első eset csak akkor teljesül, ha x=4014, de mivel x kétjegyű, ez nem lehetséges.
A másik esetben nyilván p1=401. Ekkor x egy olyan kétjegyű szám, amely egy prímszám négyzete. Így x két értéket vehet fel: x=25(=52), vagy x=49(=72).
Tehát az eredeti kétjegyű szám a 25, vagy a 49 lehetett.
Statistics:
185 students sent a solution. 5 points: Balogh Beáta, Bárány Ambrus, Baranyai Zoltán, Baráti László, Blóz Gizella Evelin, Bogár Blanka, Botond Ákos, Fónagy 092 Fanni, Gyarmati Máté, Ihárosi Gergő, Jacsó Ádám, Kis-Pál Tamás, Komálovics Ádám, Konczi Anita, Kovács 235 Gábor, Lőrincz Dóra, Máthé László, Meszlényi Regina, Mihálykó András, Miklósi Nikoletta, Nagy 019 Bianka , Nyári Vanda, Regele János, Repka 666 Dániel, Rumpl Balázs, Sáfár Kinga, Samu Viktor, Somogyi Ákos, Stelczer Ádám, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Tóth Teodóra, Várnai Péter, Zsakó András, Zsiborás Gábor. 4 points: 26 students. 3 points: 84 students. 2 points: 23 students. 1 point: 8 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009