Problem C. 986. (April 2009)
C. 986. Find all integers that may be the measure, in degrees, of the angles of a regular polygon.
(5 pont)
Deadline expired on May 15, 2009.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).180o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága . Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n
3 egész szám esetén lesz a
is egész. A 360=23.32.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).
22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.
Az n oldalszám ismeretében a képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:
60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.
Statistics:
203 students sent a solution. 5 points: 125 students. 4 points: 27 students. 3 points: 17 students. 2 points: 3 students. 1 point: 11 students. 0 point: 9 students. Unfair, not evaluated: 11 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009