Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 986. (April 2009)

C. 986. Find all integers that may be the measure, in degrees, of the angles of a regular polygon.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (n-2).180o. Tudjuk, hogy egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, ezért minden csúcsnál a belső szög nagysága \frac{(n-2)\cdot180^{\circ}}{n}=\frac{n\cdot180^{\circ}-360^{\circ}}{n}=180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n}. Vagyis azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n\geq3 egész szám esetén lesz a 180-\frac{360}{n} is egész. A 360=23.32.5 osztóit kell megkeresnünk, de kihagyjuk az 1, 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

22-féle olyan szabályos sokszög van, amelyben a belső szögek fokokban mért mérőszáma egész szám. Az oldalak száma a következő 22 szám lehet:

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360.

Az n oldalszám ismeretében a 180^{\circ}-\frac{360^{\circ}}{n} képlettel kiszámítjuk a megfelelő szabályos sokszög egy szögének mérőszámát. A következő számokat kapjuk:

60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.


Statistics:

204 students sent a solution.
5 points:126 students.
4 points:27 students.
3 points:17 students.
2 points:3 students.
1 point:11 students.
0 point:9 students.
Unfair, not evaluated:11 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009