Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem C. 987. (April 2009)

C. 987. The lengths of the sides of a triangle cut out of paper are 8 cm, 10 cm and 12 cm. The triangle is folded along a line through the common vertex so that the shortest side overlaps with the longest side. A double-layer part and a single-layer part are obtained. Prove that the single-layer part is an isosceles triangle.

(5 pont)

Deadline expired on May 15, 2009.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Készítsünk vázlatrajzot!

A hajtogatás következtében APC\triangle\cong APC'\triangle. Ekkor CAP\angle=C'AP\angle, tehát a P pont az A csúcsból induló szögfelező és az a oldal metszéspontja.

Az egybevágóság miatt AC'=AC=8, így BC'=4.

A háromszög szögfelezőjének osztásarányáról szóló tétel szerint: \frac{BP}{PC}=\frac{12}{8}. Legyen BP=12x és PC=8x. Ekkor 12x+8x=10, amiből x=\frac12. Így PC=8\cdot\frac12=4, amivel egyenlő a PC' is.

Ezzel beláttuk, hogy PC'=BC'=4, azaz a C'PB háromszög (az egyrétegű rész) valóban egyenlő szárú.


Statistics:

186 students sent a solution.
5 points:111 students.
4 points:49 students.
3 points:10 students.
2 points:2 students.
1 point:3 students.
0 point:3 students.
Unfair, not evaluated:8 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2009