Problem C. 994. (May 2009)

C. 994. Let x<y<z. Solve the following equation on the set of natural numbers: .

(5 pont)

Deadline expired on June 15, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feltételt felhasználva alakítsuk át az egyenletet!

3^x(1+3^y-x+3^z-x)=3^4.2215.

Mivel a zárójelben lévő kifejezés nem osztható 3-mal, csak

3^x=3⁴

lehetséges, így az exponenciális függvény monotonitása miatt

x=4.

Ekkor az egyenlet a következő alakot ölti:

1+3^y-4+3^z-4=2215,

3^y-4(1+3^z-y)=3^3.82.

Az előbbiekhez hasonlóan

3^y-4=3³,

y=7.

És így az egyenlet

1+3^z-7=82,

3^z-7=81,

z=11.

Tehát az egyenlet megoldásai: x=4; y=7; z=11.

Statistics:

124 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	18 students.
3 points:	9 students.
2 points:	3 students.
1 point:	1 student.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2009