Problem C. 995. (September 2009)

C. 995. Show that the simultaneous equations x-y+2z=0, -2x+y-2z=-2, 2x+cy+3z=1 have a solution that is independent of the value of the parameter c.

(5 pont)

Deadline expired on October 12, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyenletrendszer megoldásakor (a sorokat megszámozva) 1. + 2.: x=2, ezzel 1'.: y=2z+2 és 3'.: cy=-3z-3. \(\displaystyle c\cdot\)1'.-3'.: (2c+3)(z+1)=0 , ahonnan Ha \(\displaystyle z=-1\) és \(\displaystyle y=0\), akkor tetszőleges \(\displaystyle c\) valós szám esetén megoldottuk az egyenletrendszert. Ha \(\displaystyle y\ne 0\) (vagy \(\displaystyle z\ne -1\)), akkor \(\displaystyle c=-\frac 32\). Ebben az esetben végtelen sok megoldás-hármast kapunk: (2; t+1; t) alakban, ahol \(\displaystyle t\) tetszőleges valós szám.

Tehát összegezve van pontosan egy olyan megoldás-hármas, amely tetszőleges \(\displaystyle c\)-re megoldás. A második esetben a végtelen sok megoldáshármas nem \(\displaystyle c\) függvénye, de csak pontosan egy \(\displaystyle c\) értéknél igaz, ily módon függ tőle.

Statistics:

487 students sent a solution.
5 points:	435 students.
4 points:	18 students.
3 points:	4 students.
2 points:	7 students.
1 point:	12 students.
0 point:	6 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2009