A G. 662. feladat (2019. február)

G. 662. Az \(\displaystyle (a)\) és a \(\displaystyle (b)\) ábrán látható összeállítás egy nagyobb korongból és egy-egy, hozzá koncentrikusan rögzített, kisebb hengerből áll. A kis hengerekre fonalakat csévéltünk, amelyeknek végét egy rúd segítségével vízszintesen, \(\displaystyle v\) sebességgel mozgatjuk.

A \(\displaystyle (c)\) esetben a kis hengerhez felülről egy vele azonos átmérőjű, szabadon forgó másik kis henger is csatlakozik. A felső henger nekiszorul az alsónak, és a lebillenését egy-egy görgőhöz csatlakozó rúdszerkezet akadályozza meg. A felső hengerre is fonalat csévéltünk, és a fonál végét \(\displaystyle v\) sebességgel húzzuk. A korongok a talajon, illetve a kis hengerek egymáson nem csúsznak meg.

Melyik irányban, és \(\displaystyle v\)-nél nagyobb vagy kisebb sebességgel fog mozogni a korong középpontja az egyes esetekben?

(3 pont)

A beküldési határidő 2019. március 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mindhárom esetben a korong középpontja ugyanolyan irányban (előrefelé) mozog, mint amerre a fonalakat húzzuk. Az \(\displaystyle (a)\) és a \(\displaystyle (c)\) esetben a korong \(\displaystyle v\)-nél nagyobb sebességgel, a \(\displaystyle (b)\) esetben pedig \(\displaystyle v\)-nél kisebb sebességgel gördül előre a korong.

Megjegyzés. Ha a korong sugara \(\displaystyle R\), a kis hengereké pedig \(\displaystyle r\), akkor a korong középpontjának sebessége a három esetben:

\(\displaystyle u_a=u_c=\frac{R}{R-r}v,\qquad u_b=\frac{R}{R+r}v.\)

Ezeket az összefüggéseket (amelyek levezetése nem tartozik a feladathoz) legkönnyebben a korong középpontjával együtt mozgó koordináta-rendszerben lehet megkapni. Ebből a rendszerből nézve a korong középpontja áll (tehát a korong csak forog), a fonál \(\displaystyle v-u\) sebességgel halad előrefelé, a talaj pedig \(\displaystyle u\) sebességgel hátrafelé. Ezek a sebességek a rögzítettnek tekinthető forgástengelytől mért távolsággal arányosak:

\(\displaystyle \frac{v-u_a}{u_a}=-\frac{r}{R};\qquad \frac{v-u_b}{u_b}=+\frac{r}{R};\qquad \frac{ u_c-v}{u_c}=+\frac{r}{R}.\)

Statisztika:

27 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Sárvári Borka Luca.
2 pontot kapott:	Bánáti Tamás, Koczkás József Dániel, Kovács Alex, Markó Péter , Sebestyén József Tas, Somlán Gellért, Szántó Barnabás, Szőllősi Gergely, Téglás Panna, Török 111 László.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2019. februári fizika feladatai